![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Точка х0 называется особой для функции f(x), если , т.е. если функция f(x) является бесконечно большой в точке х0.
По определению:
если функция f(x) определена на полуинтервале [a, b) и b – ее особая точка, то
;
если функция f(x) определена на полуинтервале (a, b] и a – ее особая точка, то
;
если функция f(x) определена на отрезке [a, b] за исключением ее внутренней особой точки с, то
,
причем величины e и d стремятся к нулю независимо друг от друга.
Если указанные пределы существуют, то соответствующие несобственные интегралы сходятся; если не существуют – расходятся. Если в последнем случае существует предел
,
то он называется главным значением несобственного интеграла.
Очевидны обобщения определений несобственного интеграла для нескольких особых точек на отрезке [a, b]; мы не будем на этом останавливаться.
Пример 2.9.
Рассмотрим несобственный интеграл с особой точкой b, .
Если a ¹ 1, то . Этот предел существует, если a < 1; при a > 1 предел не существует. Если же a = 1, то
. Таким образом, несобственный интеграл
сходится при a < 1 и расходится при a ³ 1. К аналогичным выводам мы придем относительно несобственного интеграла
с особой точкой a. n
Достаточные признаки сходимости интегралов от функций с особыми точками. Как и в случае интегралов с бесконечными пределами, нам будет достаточно ограничиться рассмотрением только одного случая – случая, когда особая точка совпадает с правым концом отрезка интегрирования [a, b].
Критерий Коши. Несобственный интеграл , где b – особая точка функции f(x), сходится тогда и только тогда, когда для любого e > 0 существует число h Î [a, b), такое что для любых h', h" из интервала (h, b) выполняется неравенство
.n
Если существует интеграл , то существует и интеграл
, где b – особая точка функции f(x); в этом случае несобственный интеграл
называется абсолютно сходящимся.
Признак сравнения. Если для функции f(x) ³ 0 на [a, b), имеющей особую точку b, существует предел
,
то при a < 1 и 0 £ k < +¥ несобственный интеграл сходится, а при a ³ 1 и 0 < k £ +¥ несобственный интеграл расходится.n
Пример 2.10.
Рассмотрим несобственный интеграл ; здесь особая точка x = 0. Возьмем в качестве функции сравнения x2/3,т.е. a = 2/3. Тогда x2/3 × f(x) = x2/3 × x-1/2 = x1/6® 0 при х ® 0, т.е. k = 0. Следовательно, интеграл сходится.
Напротив, для несобственного интеграла с особой точкой x = 1 признак сравнения дает отрицательный результат. Действительно, в этом случае пробную функцию следует взять в виде 1 – x, т.е. a = 1; при меньших a выражение
при х ®1. При a = 1 имеем
при х ®1, т.е. k = 1n
Предостережение. При вычислении несобственных интегралов с особыми точками внутри промежутка интегрирования нельзя механически применять формулу Ньютона – Лейбница, поскольку это может привести к ошибкам.
Общее правило: формула Ньютона – Лейбница верна, если первообразная от f(x) в особой точке последней непрерывна.
Пример 2.11.
Рассмотрим несобственный интеграл с особой точкой х = 0. Формула Ньютона–Лейбница, применяемая формально, дает
.
Однако общее правило здесь не выполняется; для f(x) = 1/x первообразная ln |x| не определена в х = 0 и является бесконечно большой в этой точке, т.е. не является непрерывной в этой точке. Непосредственной проверкой легко убедиться, что интеграл расходится. Действительно,
.
Полученная неопределенность может быть раскрыта по-разному, поскольку e и d стремятся к нулю независимым образом. В частности, полагая e = d, получаем главное значение несобственного интеграла, равное 0. Если e = 1/n, а d =1/n2, т.е. d стремится к 0 быстрее, чем e, то получаем
;
при и
, наоборот,
,
т.е. интеграл расходится.n
Пример 2.12.
Рассмотрим несобственный интеграл с особой точкой х = 0. Первообразная от функции
имеет вид
и непрерывна в точке х = 0. Поэтому можно применить формулу Ньютона – Лейбница:
n
Дата публикования: 2014-10-25; Прочитано: 3188 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!