Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

Определение. График функции называют выпуклым в точке с абсциссой , если в некоторой -окрестности точки график функции лежит под касательной к нему, проведенной в этой точке (рис. 6).

Определение. График функции называют вогнутым в точке с абсциссой , если в некоторой -окрестности точки график функции лежит над касательной к нему, проведенной в этой точке (рис. 7).

Определение. Точки, в которых график функции переходит с одной стороны своей касательной на другую, то есть пересекает свою касательную, называют точками перегиба (рис. 8).

Рис. 6. Рис. 7.

Рис. 8.

Теорема. Достаточный признак выпуклости или вогнутости функции в некоторой точке с абсциссой (при условии, что при функция имеет непрерывную вторую производную) состоит в следующем: если , то график функции в этой точке выпуклый; если , то график функции в этой точке вогнутый.

Из достаточного признака выпуклости и вогнутости графика функции получаем необходимый признак наличия точек перегиба: в точке перегиба вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Теорема. Достаточный признак наличия или отсутствия точки перегиба: если слева и справа от критической точки имеются такие промежутки и (где - некоторое положительное число), в каждом из которых сохраняет постоянный знак, то точка будет точкой перегиба, если знаки в этих промежутках разные, и не будет ею, если знаки в этих промежутках одинаковые.