Производная функции

Рассмотрим некоторую непрерывную функцию (т. е. функцию, графически представляемую непрерывной линией), характеризующую зависимость от , причем ее график имеет вид, представленный на рис. 1.

Рис.2.

Когда аргумент функции получает приращение , функция получает приращение . Значения и должны принадлежать области определения функции.

При уменьшении приращения аргумента приращение функции также уменьшается и их отношение в общем случае претерпевает некоторое изменение.

Определение. Производной функции в точке называется предел приращения функции к приращению аргумента , когда стремиться к нулю , при условии что этот предел существует.

.

.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Определение. Функция, для которой в точке существует конечная производная, называется дифференцируемой в данной точке.

Если функция имеет конечные производные во всех точках некоторого промежутка, то она называется дифференцируемой на данном промежутке.

Существуют следующие обозначения производной: