Геометрический смысл производной

Производная функции в точке имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию.

Пусть дана кривая . Возьмем на ней точку и дадим аргументу приращение . Тогда получим новый аргумент и новое значение функции , т. е. мы получили новую точку на кривой и обозначим её через . Проведем секущую и обозначим угол наклона секущей к оси через . Рассмотрим прямоугольный треугольник :

.

При точка перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке . Секущая поворачивается вокруг точки и величина угла изменяется. При приближении секущей к касательной угол приближается к углу .

.

Так как в математике величину угла наклона касательной, проведенной к графику функции называют угловым коэффициентом касательной, то из полученной формулы следует, что угловой коэффициент касательной, проведенной к графику дифференцируемой функции в некоторой точке, численно равен производной функции в данной точке.

Это и есть геометрический смысл производной.

Уравнение касательной: .

Уравнение нормали: .