Координатне подання арифметичних операцій над векторами

Лема (про властивості проекцій векторів). Для будь-якої числової осі , для будь-якого вектора і для будь-якого дійсного числа виконується:

;

для будь-якої числової осі та для будь-яких векторів і виконується:

.

Те ж саме вірно й для проекції вектора на напрямок іншого вектора.

Доведення очевидно випливає з розгляду малюнку:

Теорема (про координатне подання арифметичних операцій над векторами). Для будь-якого вектора і будь-якого дійсного числа виконується:

;

для будь-яких векторів і виконується:

(формули подано для випадку простору).

Довести теорему самостійно, виходячи з означень координат вектора, операцій над векторами та використовуючи попередню лему.