![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Из разнообразных способов поведения переменных величин наиболее важен тот, при котором переменная величина стремится к некоторому пределу. В этом случае значения, принимаемые переменной величиной х, становятся сколь угодно близкими к некоторому постоянному числу a - пределу этой переменной величины. Говорят, что переменная величина стремится, неограниченно приближается к постоянному числу а (своему пределу). Дадим более подробно соответствующее определение.
Переменная величина х стремится к пределу a (a - постоянное число), если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины сколь угодно малой..
То же самое определение можно сказать и другими словами.
Определение. Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если - абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой.
Тот факт, что число а, является пределом переменной величины, записывается следующим образом:
(
- первые буквы слова limes - предел) или х — > a
Уточним, что следует понимать под словами "величина становится сколь угодно малой", имеющимися вопределении предела. Зададимся произвольным положительным числом
, тогда, если, начиная с некоторого момента в изменении переменной величины х, значения
сделаются, и будут становиться меньше, чем это
.
Переменная величина стремится к пределу
, если для любого положительного
. начиная с некоторого момента в изменении переменной
, выполняется неравенство
.
Определение предела имеет простой геометрический смысл: неравенство означает, что
находится в
-окрестности точки
, т.е. в интервале
(рис. 26). Таким образом, определение предела в геометрической форме: число
является пределом переменной величины
, если для любой (произвольно малой)
-окрестности точки
можно указать такой момент в изменении переменной
начиная с которого все ее значения
попадают в указанную -окрестность точки a.
Необходимо представлять себе процесс приближения к пределу в динамике. Взяли некоторую - окрестность точки a; начиная с некоторого момента в изменении
, все значения
попадают в эту окрестность. Теперь возьмем более тесную
- окрестность точки a
; начиная с некоторого (более отдаленного в сравнении с первым) момента в изменении
, все ее значения попадут в
- окрестность точки а и т.д. (рис. 1).
![]() | |||
![]() | |||
рис. 1
Введя определение предела переменной величины, мы постарались его подробно обсудить и расшифровать. Однако в этом определении осталась нераскрытой одна, весьма существенная, деталь; что следует понимать под словами "начиная с некоторого момента в изменении переменной величины "? Это ясно тогда, когда процесс изменения переменной протекает во времени: начиная с некоторого момента (времени). Но не всегда мы имеем дело с переменными величинами, изменение которых протекает во времени. Как же быть в этих случаях? Выход состоит в расшифровке этого места в общем определении предела переменной специфическим образом для каждого типа переменных величин: по-своему для последовательностей, по-своему для функций и т.д.
Предел последовательности.
Определение. Числовой последовательностью называется действительная функция натурального аргумента, т. е. функция, у которой = N и ЕÌR.
Она обозначается символом , где
, или короче,
. Число
, зависящее от n, называется n – ым членом последовательности. Расставив значения последовательности по порядку номеров, получаем, что последовательность можно отождествить со счётным набором действительных чисел, т. е.
.
Примеры:
а) Последовательность является постоянной и состоит из равных чисел (единиц):
;
б) . Для неё
в)
г) .
Для последовательностей содержащееся в общем определении предела переменной высказывание "начиная с некоторого момента в изменении " должно означать - "начиная с некоторого номера", так как члены с большими номерами следуют (по определению последовательности) за членом с меньшим номером. Итак, мы получаем следующее определение предела последовательности:
Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого числа
найдётся число
, что все числа
, у которых
, удовлетворяют неравенству
.
Соответствующее обозначение .
.
Неравенство можно также записывать в виде
или
. В этих записях подчеркнуто, что величина хп становится сколь угодно мало отличимой от a, когда номер члена
неограниченно возрастает. Геометрически определение предела последовательности означает следующее: для сколь угодно малой
-окрестности числа а найдется такой номер N, что все члены последовательности с большими, чем N, номерами попадают в эту окрестность, вне окрестности оказывается лишь конечное число начальных членов последовательности (рис. 2). Это все или некоторые из членов
.
![]() |
x1 x2 xN+1 a xN+2
xN x3
Рис. 2
Число в нашем определении зависит от
: N = N(
). Как говорилось ранее, определение предела следует понимать в развитии, вдинамике, в движении: если мы возьмем другое, меньшее значение для
, например
то найдется, вообще говоря, другой номер Nx > N, такой, что неравенство
, выполняется при всех
.
Будем записывать определение предела с помощью логических символов (кванторов). Определение предела последовательности с помощью кванторов выглядит так:
В рассмотренных выше примерах предел имеют последовательности а) и г), а последовательности б) и в) пределов не имеют.
Пример. Доказать, что .
Зададим произвольное . В соответствии с определением мы должны найти такое число
, что
выполняется неравенство
.
Решим это неравенство относительно . Получим
. В качестве
берем любое целое
больше
. Итак, для произвольного
найдено число
, что
выполняется неравенство
. Это и означает по определению, что
.
Дата публикования: 2014-10-23; Прочитано: 3419 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!