	Главная \| Случайная страница \| Контакты \| Мы поможем в написании вашей работы!

Элементы поведения функции

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒

Ограниченные величины и функции. Переменная величина называется ограниченной, если существует такое число , что все значения попадают в интервал . Иными словами, для всех значений выполняется неравенство

Для функции ограниченность означает выполнение неравенства

(*)

при всех из области определения. Геометрически это условие означает, что все точки графика функции лежат в горизонтальной полосе между прямыми (рис. 7)

y M

-M

Рис. 7

Так, например, ограниченная функция, так как при всех .

Иногда говорят об ограниченности функции лишь на некотором интервале, являющемся частью области определения; это значит, что условие (*) выполняется для рассматриваемого интервала; число может зависеть от взятого интервала.

Пример. - функция, не являющаяся ограниченной. В самом деле, какое бы мы не взяли, для тех , для которых будет выполняться неравенство (рис.8).

0 x

Рис. 8

В то же время на любом интервале эта функция ограничена: (рис.9). Число зависит от этого интервала.

- x 0

- M

Рис. 9

Возрастание и убывание функций на интервале. Функция называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует большее значение функции (рис.10).

x₁ x₂ x

Рис.10

1. Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (рис.11).

0 x₁ x₂ x

Рис. 11

Запишем эти определения с помощью логических символов - кванторов: для интервала - условие возрастания; - условие убывания.

Интервал, на котором функция возрастает или убывает, называется интервалом монотонности этой функции, а про функцию говорят, что она монотонна на этом интервале.

Пример. (рис.12). Интервалы монотонности: на функция убывает; на функция возрастает.

Рис.12

Четные и нечетные функции. Пусть задана функция с областью определения . Функция называется четной, если выполняется условие

функция называется нечетной, если

Примеры:

1. . Область определения симметрична относительно начала координат . Функция четная.

2. . Область определения . Функция нечетная.

3. . Область определения (два интервала) симметрична относительно начала координат (множество всех действительных чисел с выброшенным нулем). . Функция нечетная.

4. Из тригонометрии известно, что - нечетные функции; - четная функция.

5. Геометрически четность функции означает, что ее график симметричен относительно оси ординат. Действительно, наряду с точкой график содержит точку , так как , точка имеет координаты . Точки и оказались симметричными относительно оси ординат (рис. 13).

-x o x

Рис. 13

Таким образом, наряду с произвольной точкой график четной функции содержит и точку, симметричную ей относительно оси ординат, а значит, и весь график четной функции симметричен относительно оси (рис.14).

Четная функция

0 x

Рис. 14

Рассуждая аналогичным образом, можно установить, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.15).

0 x

Рис. 15

Примеры:

1. ; Пусть и , тогда, т.е. и . Значит, рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Пусть и , тогда , т.е. и . Таким образом, эта функция является функцией общего вида.

Период. Периодические функции. Число называется периодом функции с областью определения , если

Функция , обладающая периодом, называется периодической. Условие предполагает, конечно, что наряду с любым и

Если число - период функции , то и любое целое, кратное , т.е. число где будет периодом . Например, , т.е. - период; , т.е. тоже период. В дальнейшем название периода функции будем применять к наименьшему положительному периоду.

Пример. Из тригонометрии известно, что периоды функций и равны , а периоды равны .

График периодической функции с периодом достаточно построить на
каком-либо интервале с длиной, равной периоду, а затем построенную часть графика сдвигать вдоль оси на и т. д. (рис. 16).

0 l x

Рис.16

Пример. Периодична ли функция (показательная)? Допустим, что периодична. Тогда , при этом для любого ; отсюда .

Это противоречит нашему предположению о существовании периода, значит, предположение неверно. Функция не является периодической.

Сложная функция (функция от функции). Пусть дана функция от аргумента , причем аргумент , в свою очередь, является функцией от независимой переменной :

Возьмем какое-либо значение . В силу функциональной зависимости от этому значению отвечает определенное значение : . Полученному значению , в свою очередь, отвечает определенное значение

( рис.17 )

x

tt

Рис.17

На рис. 17 переменные откладываются на трех осях, изображенных параллельно. В конечном итоге взятому значению соответствует определенное значение , т.е. переменная оказалась функцией независимой переменной .

Получаем . Функция называется сложной функцией от независимой переменной или функцией от функции (функция от функции ). При этом функция называется заданной или внешней функцией, а - промежуточным аргументом. Функции и называют еще составляющими для сложной функции ; говорят также, что является суперпозицией функций и . Чтобы образовать функцию от функции, нужно, чтобы область значений промежуточной переменной "укладывалась" в область определения заданной функции (рис.18). В противном случае среди значений функции будут и такие, от которых значение функции образовать нельзя (рис. 19). В таких случаях сложную функцию (или функцию от функции) можно задать только для тех значений независимой переменной , для которых значения промежуточной переменной попадают в область определения внешней функции .

y

Область определения функции

x

Область значений функции

t

Область определения функции

Рис.18

y

? Область значений функции

x

Область определения функции

t

Область определения функции

Рис.19

Примеры:

1. . Область значений промежуточной переменной - отрезок [-1;1]; он не укладывается в область определения внешней функции [ее область определения ]. Поэтому сложную функцию можно образовать только для тех значений аргумента , для которых .

2. . Здесь область значений промежуточного переменного , а область определения внешней функции . Значит, в этом случае образовать сложную функцию [т.е. суперпозицию функций и ] нельзя.

Сложные функции могут быть образованы и из большего числа составляющих.

Примеры:

1. у = x³; x = sint, t = 3w + l; у = F(w) = (sin(3w + l))³ - Здесь два промежуточных аргумента х и t, независимая переменная w.

2. .

Обратная функция. Пусть на некотором интервале X задана функция , область значений которой обозначим Y. Согласно определению функции каждому значению соответствует определенное значение . Если же интервал X является интервалом монотонности для f(x), то и каждомузначению отвечает одно вполне определенное значение , для которого у = f(x) (рис.20). Таким образом, в этом случае функциональная зависимость между может рассматриваться и как функция , т.е. можно рассматривать как аргумент, а - как функцию. У функции областью определения является Y, а областью значений - X. Функции и называются взаимно обратными обратная функция к функции ; - обратная функция к функции . Уравнение получается в результате разрешения, если это возможно, уравнения относительно переменной .

Если f и - взаимно обратные функции, то имеют место тождества

Графиком функции является та же линия, которая изображала функцию y = f(x):ведь уравнение - просто иначе переписанное уравнение у = f(x).

Примеры:

1. - обратная к ней функция. Областью определения функции у = 2^х является , этот же интервал является областью значений обратной функции . Областью значений функции служит интервал , он же является областью определения для (рис.22). Обратная функция в этом примере существует потому, что - возрастающая функция на всей числовой оси.

2. (рис.17).

Рис.22 Рис.23

Функция несколько неудобна тем, что, вопреки привычному, ее аргументом является , а не и значением функции служит , а не . Неудобство это скорее психологического характера, однако, чтобы его избежать, наряду с функцией рассматривают функцию , которую также называют обратной функцией к функции . Функция получается из переменой ролей и :

обратные функции к

Примеры:

1.

обратные функции к

2.

обратные функции к

График обратной функции симметричен графику функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

При таком перегибании плоскости график нашей функции отобразится симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис.24). На рис.25 показаны графики взаимно обратных функций и .

Рис.24 Рис.25

Неявные функции. Иногда функциональная зависимость величин у и х задается некоторым уравнением, связывающим х и у, но нерешенным ни относительно у, ниотносительно х. Например, уравнение прямой Правда, его очень просто решить относительно у: , и мы получаем обычное задание функции. Однако уравнение, связывающее х и у, не всегда удается разрешить относительно у или х. Таково, например, уравнение . Однако и здесь значениям х отвечают определенные значения у (например, значению х = 0 отвечает у = -2). В таких случаях говорят, что функция у - неявная функция от х, она задана уравнением, связывающим x и у. Подобным образом задаются многие кривые в аналитической геометрии. Например, - уравнение окружности (с центром в начале координат и радиуса ). Здесь можно явно выразить у через х: , но получаются две функции, соответствующие "+" или "-" перед корнем (верхняя и нижняя полуокружности). Точно так же уравнение эллипса заданием неявной функции. В самом общем виде уравнение, задающее неявную функцию, можно записать как

где буква F "скрывает" те операции над х и у, которые следует проделать в основной (левой) части уравнения. Исследовать неявные функции почти всегда труднее.

Параметрическое задание функции. Кривые на плоскости часто задаются параметрическими уравнениями. В этих уравнениях координаты х и у точки на кривой выражены как функции третьего, вспомогательного переменного t (параметра):

Это новый, иногда наиболее удобный, способ задать функциональную зависимость между х и у. Считаем, что функция имеет обратную: . [т.е. решаем уравнение относительно ]. Поставив это во второе уравнение, получим:

т.е. у есть функция от х (сложная функция).

Примеры:

1)

2)

параметрические уравнения: 1) окружности радиуса , 2) эллипса с полуосями а и b.

Весьма часто параметрическое задание линии возникает в механике. Там x и у - координаты движущейся точки, меняющиеся в зависимости от времени t, а линия - траектория этой точки.

Контрольные вопросы:

1. Что называется числовой осью? Как изображаются на числовой оси области изменения переменной величины?

2. Операции над множествами, их свойства

3. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?

4. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.

5. Какая функция называется элементарной, сложной? Приведите примеры

6. Четность, нечетность функция

7. Период и периодичность функции

8. Область определения произведения и суммы функции

Литература:

[2] Глава 1 § 1.1-1.11 стр. 9-31 Глава 2 § 2.1-2.12 стр. 34-64; Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85

[19] 2.1-2.4 стр. 138-162

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒

Дата публикования: 2014-10-23; Прочитано: 2522 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!

studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.038 с)...