Завдання №17

1. Знайти рівняння кривих, які мають наступну властивість: площа трикутника, утвореного дотичною до кривої та перпендикуляром, проведеним із точки дотику на вісь абсцис, і віссю абсцис, є величиною сталою, що дорівнює .

2. Знайти рівняння кривої, коли відомо, що точка перетину будь-якої дотичної до кривої з віссю абсцис однаково віддалена від точки дотику та від початку координат.

3. Знайти рівняння кривих, які мають наступну властивість: площа трапеції, обмежена вісьми координат, дотичною до кривої та перпендикуляром, проведеним із точки дотику на вісь абсцис, є величиною сталою, що дорівнює .

4. Знайти рівняння кривої, коли відомо, що відстань від будь-якої дотичної до початку координат дорівнює абсцисі точки дотику.

5. Знайти рівняння кривих, для яких сума катетів трикутника, утвореного дотичною та перпендикуляром, проведеним із точки дотику на вісь абсцис, і віссю абсцис, є величиною сталою, що дорівнює а.

6. Знайти рівняння кривих, коли відомо, що точка перетину будь-якої дотичної до кривої з віссю абсцис має абсцису, яка дорівнює 2/3 абсциси точки дотику.

7. Знайти рівняння кривих, які мають наступну властивість: довжина відрізка вісі абсцис між дотичною та нормаллю, проведеними із будь-якої точки кривої, дорівнює .

8. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку і має наступну властивість: довжина відрізка, відсіченого на вісі абсцис дотичною, проведеної в будь-якій точці кривої, дорівнює кубу абсциси точки дотику.

9. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку і має наступну властивість: довжина відрізка, відсіченого на вісі ординат будь-якої дотичної, дорівнює потрієній абсцисі точки дотику.

10. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку і має наступну властивість: відношення ординати будь-якої її точки до абсциси цієї точки пропорційно кутовому коефіцієнту дотичної до відшукованої кривої у тій же точці. Кое­фіцієнт пропорційністі дорівнює 3.

11. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку , якщо кутовий коефіцієнт дотичної у будь-якій її точці є пропорційним до квадрату ординати точки дотику. Кое­фіцієнт пропорційності дорівнює 6.

12. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку ,якщо добуток кутового коефіцієнту дотичної у будь-якій її точці і суми координат точки дотику удвічі більш, ніж ордината цієї точки.

13. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку , якщо кутовий коефіцієнт дотичної у будь-якій її точці утрічі більше, ніж ордината цієї точки.

14. Знайти рівняння кривої, яка має наступну властивість: довжина перпендикуляра, проведеного з початку координат до дотичної, дорівнює абсцисі точки дотику.

15. Знайти рівняння кривої, якщо кутовий коефіцієнт дотичної у будь-якої її точці в п разів більше, ніж кутовий коефіцієнт прямої, яка з'єднює цю точку з початком координат.

16. Знайти рівняння кривої, яка має наступну властивість: відрізок дотичної до кривої, обмежений вісьми координат, ділиться в точці дотику навпіл.

17. Знайти рівняння кривої, якщо довжина відрізка, що відтинається на осі Оу нормаллю, яка проведена у будь-якій її точці кривою, дорівнює відстані від цієї точки до початку координат.

18. Знайти рівняння кривої, для якої добуток абсциси якої-небудь її точки і довжини відрізка, що відтинається нормаллю у цій точці на вісі Оу, у двічі більший, ніж квадрат відстані від цієї точки до початку координат.

19. Знайти рівняння кривої, для якої трикутник, утворений віссю Оу, дотичною і радіу­сом-вектором точки дотику, є рівнобедрений.

20. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку і має наступну властивість: відрізок дотичної між точкою дотику і віссю Оу має сталу довжину, яка дорівнює 2.

21. Знайти рівняння кривої, для якої всі дотичні проходять через початок координат.

22. Знайти рівняння кривої, яка має наступну властивість: площа трикутника, утвореного дотичною, віссю абсцис і відрізком від початку

координат до точки дотику, є величиною сталою, яка дорівнює .

23. Знайти рівняння кривої, яка має наступну властивість: точка перетину будь-якої дотичної з віссю абсцис має абсцису, удвічі меншу, ніж абсциса точки дотику.

24. Знайти рівняння кривої, кожна дотична до якої перетинає пряму у =1 у точці з абсцисою, яка удвічі більше ніж абсциса точки дотику.

25. Знайти рівняння кривої, яка має наступну властивість: якщо через будь-яку її точку провести прямі, які паралельні вісям координат, до перетину з цими вісями, то площа утвореного прямокутника ділиться кривою на дві частини, причому площа однієї з них удвічі більша площі другої.

26. Знайти рівняння кривої, якщо дотична до неї відтинає на вісі Оу відрізок, довжина якого дорівнює -й сумі координат точки дотику.