З а д а ч а 1

1. Дан параллелограмм ABCD. Доказать, что , где

произвольная точка пространства.

2. В параллелограмме ABCD: точка пересечения диагоналей. Найти , если а) , б) , в) , г) .

3. В ромбе ABCD диагонали , . Разложить по этим двум

векторам векторы .

4. В треугольнике PQR: , точка середина стороны QR. Выразить вектор через векторы и .

5. На сторонах ОА и ОВ в прямоугольнике ОАСВ отложены единичные векторы и . Выразить векторы и через векторы и , если .

6. В треугольнике АВС: М – точка пересечения медиан треугольника, . Разложить и по векторам и .

7. В параллелограмме ABCD точки K и М середины сторон BC и CD, . Выразить векторы и через векторы и .

8. Точка O является центром тяжести (точка пересечения медиан) треугольника АВС. Доказать, что .

9. В четырёхугольнике ABCD диагонали в точке пересечения делятся пополам. Доказать, что этот четырёхугольник параллелограмм.

10. Четырехугольник ABCD – параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей, и середины параллельных сторон BC и AD соответственно. Построить векторы: а) , б) , в) , г) ,

д) , е) .

11. В треугольнике АВС: , , точки середины сторон АВ, BC и АС соответственно. Выразить через векторы и медианы

треугольника .

12. В треугольнике вектор и вектор . Построить каждый из следующих векторов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

13. По данным векторам и построить каждый из следующих векторов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

14. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор делил пополам угол между векторами и ?

15. Три силы , приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей, если известно, что , .

16. В тетраэдре ABCD: , , , точка центр тяжести треугольника АВС. Выразить вектор через векторы , , .

17. Даны точки A, В и С. Построить точку так, чтобы .

18. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Выразить вектор через векторы и .

19. В трапеции ABCD точки и середины оснований и , точка пересечения диагоналей. Выразить векторы и

через и .

20. В трапеции ABCD точки и середины оснований и , точка пересечения диагоналей. Выразить векторы и

через и .

21. В трапеции ABCD точка пересечения диагоналей, и . Выразить векторы и через векторы и .

22. В трапеции ABCD точка пересечения диагоналей, и . Выразить векторы и через векторы и .

23. В произвольном треугольнике АВС точки середины сторон и . Выразить векторы , и через векторы и .

24. В треугольнике проведена средняя линия параллельная стороне . Выразить векторы и через векторы и .

25. Пусть ABCD – параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей. Полагая и , выразить через и векторы , , , .

26. Точка центр тяжести треугольника АВС. Выразить: 1) вектор через и ; 2) вектор через векторы и .

27. В тетраэдре ABCD точка лежит на ребре и делит отрезок в отношении , , , . Выразить векторы , , через векторы , , .

28. В тетраэдре ABCD точка делит сторону в отношении . Выразить векторы , , через векторы , , .

29. Дан треугольник АВС и произвольная точка . середины сторон и соответственно. Доказать, что равнодействующая сил

, и равна равнодействующей сил , и .

30. В параллелограмме ABCD и середины противоположных сторон и , точка пересечения диагоналей. Выразить векторы , , , через векторы и .