Линейные операции над векторами. Задача 1. В равнобедренной трапеции ABCD угол АDС равен , , и

Задача 1. В равнобедренной трапеции ABCD угол АDС равен , , и середины сторон и соответственно. Выразить векторы через и орты направлений и .

Решение.

Выберем треугольник, в который входит неизвестный вектор, а два других либо даны, либо их можно найти. 1) Из имеем: . Так как и , то , . , то . Тогда

3) Из имеем: ; .

Для нахождения вектора определим его длину. Из условия , следовательно . Тогда , т.е. .

3) Из : .

, .

, т.е. .

4) Из :

, .

Задача 2. Найти орт биссектрисы угла между двумя векторами и .

Решение. Перенесём векторы и в одну точку. Диагональ четырёхугольника

совпадает с биссектрисой угла, если четырёхугольник ромб. Если найти орты направлений, то получим векторы и единичной длины. Построим на и параллелограмм, который будет являться ромбом.

Следовательно, диагональ делит угол ромба пополам, т.е. является биссектрисой угла. Найдём и . Векторы и имеют координаты: , тогда , , ,

.

Задача 3. Образуют ли векторы базис в пространстве ? Если да, то найти линейную зависимость вектора от векторов , и .

Решение. Три вектора образуют базис в тогда и только тогда, когда они линейно независимы. Аналитически это означает, что уравнение с неизвестными имеет единственное нулевое решение, а это означает, что определитель системы . Составим систему:

, т.е.

,

следовательно, система имеет единственное решение , тогда,

векторы линейно независимы и образуют базис. Поэтому, вектор можно разложить по данному базису единственным образом, т.е. :

. Решим систему методом Гаусса.

.

Получим .