Векторное произведение двух векторов и его приложения

Задача 8. Упростить выражение .

Решение. Найдём векторные произведения для этого раскроем скобки, т.е.

.

Задача 9. Упростить выражение , если

.

Решение. Используя схему, получим, например, , кроме того .

.

Задача 10. На материальную точку действуют силы , , . Определить величину и направляю-

щие косинусы момента равнодействующей сил относительно точки .

Решение. , где равнодействующая сил .

, плечо, т.е.

вектор .

.

.

Направляющие косинусы момента есть координаты орта:

.

Задача 11. Треугольник построен на векторах и , где . Найти высоту, опущенную из вершины .

Решение. . С другой стороны, , следовательно . Найдём

.

.

.

4. Смешанное произведение трёх векторов и его приложения

Задача 12. Даны координаты вершин параллелепипеда

. Найти: 1) объём параллелепипеда; 2) высоту, опущенную из вершины C; 3) угол между вектором и гранью, в которой лежат векторы и .

Решение. Определим векторы .

1). .

2). ? , .

. Тогда .

3) Надо определить угол . Для этого определим угол между вектором и вектором , где , т.е.

.

Тогда . .

Угол , т.е. .

Задача 13. Проверить лежат ли четыре точки

в одной плоскости.

Решение. Если точки лежат в одной плоскости, то и векторы, например, лежат в одной плоскости, т.е. компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно 0. Определим векторы: , , .

Составим определитель:

Определитель равен нулю, следовательно, векторы линейно зависимы. Найдём линейную зависимость, например, вектора от и . .

. Тогда .

Получим . Тогда .