Доказательство. 1) Необходимость. Пусть G – планарный

1) Необходимость. Пусть G – планарный. Допустим, что он содержит подграф , гомеоморфный графу или . Рассмотрим планарную реализацию графа G. Удалив лишние вершины и рёбра, мы получим планарную реализацию подграфа . Но геометрически – это граф или с точками на рёбрах. Если проигнорировать эти точки, то мы получим планарную реализацию графа или . Но это невозможно по следствиям 2 и 3.

2) Достаточность доказывается тяжело, и здесь мы это доказательство опустим. Доказательство можно найти, например, в книге Ф. Харари «Теория графов» (под ред Г.П. Гаврилова. М.: Изд-во «Мир», 1973).