![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть две игры определены матрицами
,
где матрица получена из
перестановкой в
строк с номерами
и
.
Теорема 3.1. Пусть – решение и
– цена игры с матрицей
.
Тогда пара , где
получено перестановкой в векторе
координат с номерами
и
,
, является решением игры с матрицей
, а ее цена совпадает с
.
Доказательство. Построим квадратную размерности матрицу
, которая получена из единичной матрицы
в результате перестановки строк с номерами
и
. Заметим, что матрица
невырожденная, т.к. ее определитель равен –1, и что
,
,
,
,
. (3.1)
,
Обозначим -мерный вектор, все координаты которого равны единице через
. Тогда неравенства (2.31), которые выполняются по условиям теоремы, запишем для удобства вычислений в векторно-матричном виде
. (3.2)
Выберем ,
. В соответствии с этим и с условиями (3.1), (3.2)
. (3.3)
Кроме того, . Второе из неравенств (3.2) показывает, что все координаты вектора
не превышают
. Умножение вектора
слева на
переставляет его координаты с номерами
и
. Значит, все координаты вектора
не больше
. Значит,
. Поскольку это неравенство и неравенство (3.3) выполняются для одного и того же числа
, то согласно следствию теоремы 2.2.1 об оптимальных смешанных стратегиях число
является ценой, а
– решением игры с матрицей
. Теорема доказана.
Аналогично доказывается
Теорема 3.2. Пусть – решение и
– цена игры с матрицей
,а матрица
получена перестановкой в матрице
столбцов с номерами
. Тогда пара
, где
, а
получено перестановкой в векторе
координат с номерами
, будут решением игры с матрицей
, а цена этой игры совпадает с
.
Теоремы 3.1 и 3.2 позволяют, естественно, установить связь между решениями игр с матрицами, различающимися порядком любого количества строк и столбцов.
Игры, матрицы которых отличаются лишь порядком строк и столбцов называются изоморфными.
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 395 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!