Игры с матрицами, отличающимися порядком строк и столбцов

Пусть две игры определены матрицами

,

где матрица получена из перестановкой в строк с номерами и .

Теорема 3.1. Пусть – решение и – цена игры с матрицей .

Тогда пара , где получено перестановкой в векторе координат с номерами и , , является решением игры с матрицей , а ее цена совпадает с .

Доказательство. Построим квадратную размерности матрицу , которая получена из единичной матрицы в результате перестановки строк с номерами и . Заметим, что матрица невырожденная, т.к. ее определитель равен –1, и что

, , , , . (3.1)

,

Обозначим -мерный вектор, все координаты которого равны единице через . Тогда неравенства (2.31), которые выполняются по условиям теоремы, запишем для удобства вычислений в векторно-матричном виде

. (3.2)

Выберем , . В соответствии с этим и с условиями (3.1), (3.2)

. (3.3)

Кроме того, . Второе из неравенств (3.2) показывает, что все координаты вектора не превышают . Умножение вектора слева на переставляет его координаты с номерами и . Значит, все координаты вектора не больше . Значит, . Поскольку это неравенство и неравенство (3.3) выполняются для одного и того же числа , то согласно следствию теоремы 2.2.1 об оптимальных смешанных стратегиях число является ценой, а – решением игры с матрицей . Теорема доказана.

Аналогично доказывается

Теорема 3.2. Пусть – решение и – цена игры с матрицей ,а матрица получена перестановкой в матрице столбцов с номерами . Тогда пара , где , а получено перестановкой в векторе координат с номерами , будут решением игры с матрицей , а цена этой игры совпадает с .

Теоремы 3.1 и 3.2 позволяют, естественно, установить связь между решениями игр с матрицами, различающимися порядком любого количества строк и столбцов.

Игры, матрицы которых отличаются лишь порядком строк и столбцов называются изоморфными.