![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
применяется, если цена игры .
Метод основывается на равенстве (2.1). Поскольку обоснование этого метода базируется на положениях, близких к положениям, изложенным в предыдущем пункте. Поэтому метод излагаться будет несколько менее подробно, чем метод для двустрочной матрицы.
Если в (2.1) взять по минимум от обеих частей равенства, то цену игры получим из равенства
. (2.20)
Обозначим
, (2.21)
, (2.22)
. (2.23)
Пусть , т.е. в силу (2.22) и (2.23)
. Отсюда
для всех
. Тогда в силу (2.21)
. (2.24)
Так как – цена игры, то согласно теореме 2.2.1 (оптимальности)
является оптимальной смешанной стратегией второго игрока.
Для вычисления и
проведем следующие графические построения. Пусть
– произвольная смешанная стратегия второго игрока. Обозначим
. Тогда
. Учитывая это и (2.21)–(2.23) введем следующие функции одномерного аргумента
:
,
.
Тогда
,
а вместо нахождения точки минимума функции
следует найти точку
минимума функции
.
Пусть, например, . На рис. 3 изобразим графики функций
и темной линией – график функции
. Рис. 3 показывает, что точка
является решением уравнения
, а
.
Рис.3
Таким образом, на первом этапе решения игровой задачи с двустолбцовой матрицей находятся цена и оптимальная стратегия
второго игрока.
В случаях матрица имеет седловую точку, которая и является решением.
Пусть теперь , т.е.
. Тогда по теореме 2.2.2 о дополняющей нежесткости
(2.25)
Обозначим
.
Если
, то
. Тогда по теореме о дополняющей нежесткости
. Поэтому в системе (2.25) для каждого
полагается
. Если после этого в системе остаются две неизвестных, то ее решением завершается отыскание оптимальной стратегии
первого игрока. Исследуем случай, когда в множестве
остаются более двух индексов, т.е. в системе (2.25) остаются более двух неизвестных. Выберем любые три индекса
. Пусть
– соответствующие этим индексам строки матрицы
. Так как эти три вектора двумерные, а число их больше двух, они линейно зависимы. Значит, найдутся такие числа
не все равные нулю, что будет выполнено равенство
. (2.26)
Умножая его скалярно на оптимальную стратегию второго игрока, получим
. (2.27)
Так как , то
. (2.28)
Подставляя (2.28) в (2.27) и учитывая, что , получим
. (2.29)
Таким образом, среди есть числа разных знаков. Пусть, например
. Представим тогда равенство (2.29) в виде
(2.30)
Из (2.26) следует
.
Так как в этом равенстве коэффициенты неотрицательны и для них выполняется соотношение (2.30), то вектор является выпуклой комбинацией векторов
. Следовательно, по определению 1.2
-ая чистая стратегия первого игрока является минорирующей. Согласно теореме 1.2 существует оптимальная смешанная стратегия первого игрока с
. Тогда в системе (2.25) полагаем
. Проделывая такую операцию с каждой тройкой векторов-строк матрицы
, оставим в системе (2.25) две неизвестных величины, которые и найдем, решая эту систему.
Пример 2.2. Определить цену и оптимальные стратегии игроков в матричной игре с
.
Решение. Построим 6 функций
и функцию . Последняя функция на рис.4 выделена темной линией.
Рис.4
Согласно рис.4 точка является решением, например, уравнения
. Решая это уравнение, найдем
. Тогда
, а
. Множеством активных индексов является
. Тогда
. Минорирующими стратегиями первого игрока будут первая и пятая (на рис.4 графики функций
лежат между графиками функций
). Поэтому существует оптимальная стратегия первого игрока, для которой
. Таким образом, система (2.19) для данного примера имеет вид
Решая эту систему, находим Итак, задача решена. Ответ:
,
,
.
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 403 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!