С двустрочными и двустолбцовыми матрицами

Метод, излагающийся в данном параграфе, базируется на следующей теореме.

Теорема 2.1. Для смешанных стратегий x, y матричной игры c матрицей А= справедливы соотношения

, (2.1)

. (2.2)

Доказательство. Докажем равенство (2.2), т.к. равенство (2.1) доказывается аналогично. Неравенство

(2.3)

выполняется, очевидно, для всех y, в том числе и для y = (0,…,0,1,0,…,0), где 1 стоит на s -ом (s = 1,…, n) месте. Подставляя y в неравенство (2.3), получим

s = 1,2,…, .

Но это равносильно неравенству

(2.4)

Докажем теперь неравенство, обратное неравенству (2.4). Очевидно

для любых j=1,…,n. (2.5)

Выберем любую смешанную стратегию , умножим неравенство (2.5) на и просуммируем результат по j. Учитывая, что а левая часть неравенства (2.5) не зависит от j, получим

.

Поскольку левая часть и этого неравенства не зависит от y, а оно справедливо для любого y, а то оно справедливо, в частности, и для того y, для которого правая его часть достигает минимального по y значения. Таким образом, справедливо неравенство

,

которое вместе с неравенством (2.4) дает равенство (2.2). Теорема доказана.