Решение. Все значения этой функции принадлежат отрезку , т.е

Рис. 8.4

Все значения этой функции принадлежат отрезку , т.е. . Функция F (х) является неубывающей: в промежутке она постоянна, равна нулю, в промежутке возрастает, в промежутке также постоянна, равна единице (см. рис. 8.4). Функция непрерывна в каждой точке х ₀ области ее определения — промежутка , поэтому непрерывна слева, т.е. выполняется равенство

, .

Выполняются и равенства:

, .

Следовательно, функция удовлетворяет всем свойствам, характерным для функции распределения. Значит данная функция является функцией распределения некоторой случайной величины Х.

Пример 8.3. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция

Решение. Данная функция не является функцией распределения случайной величины, так как на промежутке она убывает и не является непрерывной. График функции изображен на рис. 8.5.

Рис. 8.5

Пример 8.4. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти коэффициент а и плотность вероятности случайной величины Х. Определить вероятность неравенства .

Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения

Коэффициент а определяем с помощью равенства

,

отсюда

.

Тот же результат можно было получить, используя непрерывность функции в точке

, .

Следовательно, .

Поэтому плотность вероятности имеет вид

Вероятность попадания случайной величины Х в заданный промежуток вычисляется по формуле

.

Пример 8.5. Случайная величина Х имеет плотность вероятности (закон Коши)

.

Найти коэффициент а и вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала . Найти функцию распре­деления этой случайной величины.

Решение. Найдем коэффициент а из равенства

,

но

Следовательно, .

Итак, .

Вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала , равна

Найдем функцию распределения данной случайной величины

Пример 8.6. График плотности вероятности случайной величины Х изображен на рис. 8.6 (закон Симпсона). Написать выражение плотности вероятности ифункцию распределения этой случайной величины.

Рис. 8.6

Решение. Пользуясь графиком, записываем аналитическое выражение плотности распределения вероятностей данной случайной величины

Найдем функцию распределения.

Если , то .

Если , то .

Если , то

Если , то

Следовательно, функция распределения имеет вид