Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством
где р (х) — плотность распределения случайной величины Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то
Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох определяется равенством
если интеграл сходится, или равносильным равенством
В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу , то
или
Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных величин.
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством
.
Модой непрерывной случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого плотность вероятности р (х) достигает максимума).
Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого
.
Вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой, равной , геометрически делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 8.7).
Рис. 8.7
Очевидно, что .
Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определяется равенством
.
Центральный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определяется равенством
.
Если все возможные значения Х принадлежат интервалу , то
, .
Очевидно, что ; ; ; ; . Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:
,
,
.
Математическое ожидание М (Х), или первый начальный момент, характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент, или дисперсия , — степень рассеяния распределения Х относительно М (Х).
Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения.
Величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины.
А = 0, если распределение симметрично относительно математического ожидания.
Четвертый центральный момент характеризует крутость распределения.
Эксцессом случайной величины называется число
.
Кривые более островершинные, чем кривая для нормального распределения, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные — отрицательным эксцессом.
Пример 8.7. Дана функция
При каком значении параметра с эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины Х? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Решение. Для того чтобы р (х) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х, она должна быть неотрицательна, т.е. , откуда и она должна удовлетворять свойству 4 плотности вероятности.
Следовательно,
откуда
.
Найдем интеграл , применив метод интегрирования по частям
Таким образом,
и плотность распределения имеет вид
Следовательно,
Дисперсия
Вначале найдем
Теперь
1. Написать выражение плотности распределения.
2. Найти функцию распределения F (х).
3. Найти вероятность попадания случайной величины Х на участок от до а.
4. Найти характеристики величины Х: М (Х), D (Х), , .
Решение. Так как площадь прямоугольного треугольника есть площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, то она равна единице: и, следовательно, . Уравнение прямой АВ в отрезках имеет вид , откуда , то есть функция плотности распределения имеет вид
Найдем функцию распределения F (х):
если , то
если , то
если , то
Таким образом,
Вероятность попадания случайной величины Х на участок от до а определяется по формуле
.
Найдем математическое ожидание:
Следовательно,
,
.
Так как , а , ,
,
то .
Пример 8.9. По данным задачи 8.5 найти математическое ожидание М (Х), дисперсию D (Х), моду М0 (Х) и медиану Ме (Х).
Решение. Так как
то .
Дисперсия
Вначале найдем
.
Следовательно,
График плотности вероятности р (х)имеет вид (рис. 8.9)
Рис. 8.9
Плотность вероятности р (х)максимальна при х = 2, это означает, что М0 (Х) = 2.
Из условия найдем медиану Ме (Х): ; откуда
Пример 8.10. Дана функция
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины Х.
Решение. Плотность распределения случайной величины Х равна
Так как асимметрия , эксцесс , то найдем начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:
Тогда
Так как то Следовательно,
Пример 8.11. Плотность случайной величины Х задана следующим образом:
Найти моду, медиану и математическое ожидание Х.
Решение. Найдем математическое ожидание Х:
.
Так как плотность распределения достигает максимума при х = 1, то М 0(Х) =1. Медиану Ме (Х) найдем из условия . Для этого вначале найдем функцию распределения :
если , то
если , то
если , то
Таким образом,
Уравнение равносильно уравнению , откуда .
Пример 8.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Найти математическое ожидание функции (не находя предварительно плотности распределения ).
Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математического ожидания функции от случайного аргумента Х
где а и b — концы интервала, в котором заключены возможные значения Х, получим
Пример 8.13. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.
Решение. Так как , то отсюда видно, что при х = 4 плотность распределения достигает максимума и, следовательно, М 0(Х) = 4 (можно было найти максимум методами дифференциального исчисления).
Кривая распределения симметрична относительно прямой х = 4, поэтому М (Х)= Ме (Х) = 4.
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 55910 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!