Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть имеется N элементов, из которых М элементов обладают некоторым признаком А. Извлекаются случайным образом без возвращения n элементов. Х — дискретная случайная величина, число элементов обладающих признаком А, среди отобранных n элементов. Вероятность, что Х = m определяется по формуле
.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону, определяются формулами:
,
.
Пример 7.2. В аккредитации участвуют 4 коммерческих вуза. Вероятности пройти аккредитацию и получить сертификат для этих вузов, соответственно равны 0,5; 0,4; 0,3; 0,2. Составить закон распределения числа коммерческих вузов, не прошедших аккредитацию. Найти числовые характеристики этого распределения.
Решение. В качестве случайной величины Х выступает число коммерческих вузов, не прошедших аккредитацию. Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3, 4.
Для составления закона распределения необходимо рассчитать соответствующие вероятности. Обозначим через событие — первый вуз прошел аккредитацию, — второй, — третий, — четвертый. Тогда ; ; ; . Вероятности для вузов не пройти аккредитацию соответственно равны ; ; ; .
Тогда имеем:
.
Запишем закон распределения в виде таблицы
Х | |||||
Р | 0,012 | 0,106 | 0,320 | 0,394 | 0,168 |
Проверка: 0,012 + 0,106 + 0,32 + 0,394 + 0,168 = 1.
Вычислим
.
Вычислим :
,
. .
Пример 7.3. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые последовательно посетит студент, чтобы взять необходимую книгу, если в городе 3 библиотеки.
Решение. В качестве случайной величины Х выступает число библиотек, которые посетит студент, чтобы получить необходимую книгу. Возможные значения, которые примет случайная величина Х: 1, 2, 3.
Обозначим через событие — книга свободна в первой библиотеке, — во второй, — в третьей. Тогда . Вероятность противоположного события, что книга занята
.
Для составления закона распределения рассчитаем соответствующие вероятности:
,
,
Запишем закон распределения в виде таблицы.
Х | |||
Р | 0,3 | 0,21 | 0,49 |
Проверка: 0,3 + 0,21 + 0,49 = 1.
Пример 7.4. Из поступающих в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. В качестве случайной величины Х выступает число просмотренных часов. Возможные значения, которые примет случайная величина Х: 1, 2, 3, 4. Все значения случайной величины зависимы.
Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений. Для расчета вероятностей будем использовать формулу классической вероятности и теорему умножения для зависимых событий.
Пусть событие — первые, взятые наугад, часы, нуждающиеся в чистке, — вторые, — третьи, — четвертые. Тогда имеем:
,
,
,
Запишем закон распределения в виде таблицы
Х | ||||
Р |
Проверим, что :
.
Вычислим математическое ожидание случайной величины по формуле
.
Вычислим дисперсию случайной величины по формуле
.
Вычислим ,
.
Пример 7.5. Известно, что в определенном городе 20 % горожан добираются на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 4 человека. Составить закон распределения числа людей, добирающихся на работу личным автотранспортом. Найти числовые характеристики этого распределения. Написать функцию распределения и построить ее график.
Решение. В качестве случайной величины Х выступает число людей в выборке, которые добираются на работу личным автотранспортом. Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3, 4.
Вероятность того, что каждый из отобранных людей, которые добираются на работу личным автотранспортом, постоянна и равна . Вероятность противоположного события, т.е. того, что каждый из отобранных людей добирается на работу не личным автотранспортом, равна . Все 4 испытания независимы. Случайная величина подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами ; ; . Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений.
Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли:
.
,
,
,
,
.
Запишем закон распределения в виде таблицы
Х | |||||
Р | 0,4096 | 0,4096 | 0,1536 | 0,0256 | 0,0016 |
Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1.
Проверка: 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 1.
Найдем числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Математическое ожидание может быть рассчитано по формуле
.
Так как случайная величина подчиняется биноминальному закону, то для расчета математического ожидания можно воспользоваться формулой
.
Дисперсия случайной величины может быть рассчитана по формуле :
,
.
В данном случае дисперсию можно рассчитать по формуле
.
Рассчитаем среднее квадратическое отклонение случайной величины по формуле
.
Составим функцию распределения случайной величины Х по формуле
.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
Запишем функцию распределения
График функции распределения вероятностей имеет ступенчатый вид (рис. 7.3). Скачки равны вероятностям, с которыми случайная величина принимает возможные значения.
Рис. 7.3
Пример 7.6. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
Решение. В качестве случайной величины Х выступает число кредитов, возвращенных клиентами в срок. Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Вероятность того, что каждый клиент возвратит кредит в срок, постоянна и равна . Вероятность того, что кредит не будет возвращен в срок, равна . Все 5 испытаний независимы. Случайная величина подчиняется биномиальному распределению с параметрами ; ; ; . Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений. Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли
,
,
,
,
,
,
.
Запишем закон распределения в виде таблицы
Х | ||||||
Р | 0,00001 | 0,00045 | 0,0081 | 0,0729 | 0,32805 | 0,59049 |
Математическое ожидание вычислим по формуле
.
Дисперсию вычислим по формуле
.
Пример 7.7. Из 10 телевизоров на выставке оказались 4 телевизора фирмы «Сони». Наудачу для осмотра выбраны 3 телевизора. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Сони» среди 3 отобранных.
Решение. В качестве случайной величины Х выступает число телевизоров фирмы «Сони». Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3. Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений. Эти вероятности можно рассчитать по формуле классической вероятности :
;
.
Запишем закон распределения
Х | ||||
Р |
Убедимся, что .
Пример 7.8. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них:
Х: для первого
Х | ||||
Р | 0,1 | 0,6 | 0,2 | 0,1 |
Y: для второго
Y | ||||
Р | 0,5 | 0,3 | 0,2 |
Составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.
Решение. Для того чтобы составить закон распределения Х + Y необходимо складывать , а соответствующие им вероятности умножить :
; ,
; ,
; ,
; ,
; ,
; ,
,
,
,
,
,
.
Закон распределения запишем в виде таблицы
Х + Y | ||||||
P | 0,05 | 0,33 | 0,3 | 0,23 | 0,07 | 0,02 |
Проверим свойство математического ожидания :
,
,
,
.
Пример 7.9. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: и , причем . Вероятность того, что Х примет значение , равна 0,6. Найти закон распределения величины Х, если математическое ожидание ; .
Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице, поэтому вероятность того, что Х примет значение . Напишем закон распределения Х
X | ||
P | 0,6 | 0,4 |
Для того чтобы отыскать и необходимо составить два уравнения. Из условия задачи следует, что , .
Составим систему уравнений
Решив эту систему, имеем ; и ; .
По условию , поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение, т.е. ; . Тогда закон распределения имеет вид
X | ||
P | 0,6 | 0,4 |
Пример 7.10. Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если известно, что , .
Решение. Так как имеют место свойства дисперсии
и , то получим
.
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 8057 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!