Непрерывность функции. Ситуация с вычислением предела сложной функции упрощается, если рассматривать функции, для которых возможен непосредственный предельный переход .

Ситуация с вычислением предела сложной функции упрощается, если рассматривать функции, для которых возможен непосредственный предельный переход .

Такие функции получили название непрерывных. Функция называется непрерывной в точке , если предел

.

Это условие допускает эквивалентную формулировку «на языке »:

.

Если обозначить , , то определение предела можно сформулировать через приращения:

.

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва. Для классификации точек разрыва пользуются определением непрерывности через односторонние пределы. Функция называется непрерывной в точке , если

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Функция имеет в точке устранимый разрыв, если выполняются условия 1)-3), но не выполняется условие 4), т.е. точка , либо односторонние пределы не равны .

Функция имеет в точке разрыв I рода (разрыв скачка), если выполняются условия 1)-2), но не выполняется условие 3), т.е. существуют конечные односторонние пределы, но они различны.

Функция имеет в точке разрыв II рода, если не существует или равен бесконечности по крайней мере один из односторонних пределов.

Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Теорема. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Теорема (Коши о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке). Если функция непрерывна на отрезке и , , то для любого числа C, заключенного между A и B, существует точка , в которой значение .

Теорема (Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке). Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем.

Теорема (Вейерштрасса о достижении наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке). Если функция непрерывна на отрезке, то среди её значений на этом отрезке есть наибольшее и наименьшее.

Функция называется равномерно непрерывной на множестве E, если она определена на этом множестве и

.

Всякая равномерно непрерывная на множестве E функция является непрерывной на этом множестве.

Пример. Функция , непрерывна, но не равномерно непрерывна на интервале .

Теорема (Кантор). Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Задача 19. Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции

в окрестности точки .

Решение. Найдем односторонние пределы функции в точке . Левосторонний предел

.

Правосторонний предел

.

Следовательно, в точке не существует предела и функция разрывна. Эскиз графика функции в окрестности точки будет иметь вид

Рис. 20

Можно этим и ограничиться. Но в данном случае не очень сложно установить поведение функции и вне окрестности точки . Так, например, справа от начала координат функция монотонно убывает, оставаясь положительной. Вычислим предел

.

Это означает, что график функции неограниченно приближается к положительной полуоси OX сверху.

Для отрицательных аргументов из условия следует, что

,

так как знаменатель дроби – положительная величина (произведение двух неотрицательных величин), а числитель – отрицательная ( - возрастающая функция). Таким образом, при функция монотонно убывает.

Предел . Это означает, что при график функции неограниченно приближается к прямой . Таким образом, эскиз графика будет иметь вид

Рис. 21

Задача 20. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

Решение. Речь идет о существовании новой функции, общей с данной функцией во всех точках, кроме точки , и непрерывной в этой точке. Это зависит от того, существует ли придел данной функции в точке . Имеем

.

Так как предел существует, то доопределить заданную функцию в точке по непрерывности можно. В результате получим функцию

.

Задача 21. Доказать, что уравнение имеет, по крайней мере, один действительный корень, заключенный между 1 и 2.

Решение. Рассмотрим функцию и покажем, что она на отрезке удовлетворяет условиям теоремы Коши-Больцано: «Если функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезке принимает значения разных знаков, то между точками a и b найдется точка c, в которой ».

Данная функция непрерывна на отрезке как многочлен, значения и . На основании сформулированной теоремы найдется точка c, в которой . Эта точка принадлежит интервалу (1; 2) и является корнем уравнения .

Задания для самостоятельной работы

Вариант № 1

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения:

а) ; б) ; в) .

4. Решить неравенства:

а) ; б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Пользуясь определением предела, доказать, что

а) ; б) .

7. Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции в окрестности точки .

8. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

9. Доказать, что функция на отрезке принимает значение, равное 4.

Вариант № 2

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения:

а) ; б) ; в) .

4. Решить неравенства:

а) б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции в окрестности точки .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9. Функция , определенная на , принимает все промежуточные значения между и . Достаточно ли этого для непрерывности на ?

Вариант № 3

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения:

а) ; б) ;

в) .

4. Решить неравенства:

а) ; б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции при и , , в окрестности точек и .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9. Функция определена на и ни в одной точке не принимает значения . Следует ли отсюда, что – разрывна?

Вариант № 4

1. Найти естественную область определения функции:

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения:

а) ; б) ;

в) .

4. Решить неравенства:

а) ; б) ; в) .

4. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции в окрестностях точек .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9. Доказать, что для любого многоугольника существует прямая, делящая его на равновеликие части.

Вариант № 5

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

4. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9. Можно ли утверждать, что если функция определена на отрезке и непрерывна на интервале , то она будет ограничена на ?

Вариант № 6

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9. Могут ли все значения функции, непрерывной на интервале образовать отрезок?

Вариант № 7

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9. Показать, что уравнение имеет на отрезке корень.

Вариант № 8

1. Найти естественную область определения функции:

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9. Доказать, что всякий многочлен нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень.

Вариант № 9

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9. Найти и исследовать точки разрыва функции , равной , если ; равной , если ; равной 3, если .

Вариант № 10

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции в окрестности точки .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9.Найти и исследовать точки разрыва функции

.

Вариант № 11

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции , , в окрестности точки .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9. Найти и исследовать точки разрыва функции

.

Вариант № 12

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции в окрестности точки .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9. Привести пример, показывающий, что сумма двух разрывных функций может быть функцией непрерывной. Что можно сказать о непрерывности суммы разрывной и непрерывной функции?

Вариант № 13

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

5. Вычислить пределы

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить график функции

.

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9.Пусть . Доказать, что всюду разрывна.

Вариант № 14

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить график функции в окрестности точки .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9. Можно ли привести пример двух различных функций, непрерывных на и совпадающих на множестве всех рациональных чисел из ?

Вариант № 15

1. Найти естественную область определения функции:

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) .

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить график функции в окрестности точки .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9.Доказать, что если функция непрерывна в точке , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. Верно ли обратное утверждение?

Вариант № 16

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить график функции в окрестности точки .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9.Доказать существование обратной функции для , . Указать область определения обратной функции.

Вариант № 17

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить график функции в окрестности точки .

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .

9.Имеет ли уравнение корни, принадлежащие интервалу ?

Вариант № 18

1. Найти естественную область определения функции

.

2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования функций, построить графики функций:

а) ; б) .

3. Решить уравнения: а) ;

б) ; в) .

4. Решить неравенства: а) ;

б) ; в) .

5. Вычислить пределы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

6. Исследовать на непрерывность и построить графика функции

.

7. Функция не определена при . Можно ли ее доопределить так, чтобы в точке она стала непрерывной?

8. Пользуясь определением предела, доказать:

а) ; б) .