Решение неравенств

Задача 8. Решить неравенство .

Решение. Так как слева стоит арифметический корень, и он не принимает отрицательных значений, то в случае, когда правая часть х станет отрицательной или 0, заданное неравенство не будет выполняться. Кроме этого, сам корень существует только для неотрицательных чисел. Поэтому данное неравенство эквивалентно системе неравенств

.

Последнее неравенство получается из заданного возведением обеих его частей в квадрат, при этом знак неравенства сохраняется. После преобразований система принимает вид

Решая первое неравенство методом интервалов, получаем

Рис. 18

С учетом второго неравенства имеем .

Ответ: .

Задача 9. Решить неравенство .

Решение. Область определения неравенства О.О.Н. . Дальнейшее рассмотрение удобнее вести по интервалам. В результате получаем совокупность систем неравенств

, , .

Освобождаемся от знаменателей и используем определение модуля. В результате получаем совокупность систем неравенств

а) ,

б) ,

с) .

Решаем эти системы неравенств:

а): , , , ;

б): , , ;

с): . , .

Берем объединение полученных решений.

Ответ: .

Задача 10. Решить неравенство .

Решение. О.О.Н. получается из условий существования логарифма: и , которые выполняются для любого , или . Так как

,

то неравенство принимает вид

.

Удобно сделать замену . Тогда получим неравенство . Так при любом величина , то и неравенство, после умножения обеих частей на примет вид

.

Методом интервалов находим решение: , или .

Рис. 19

Заменим t на первоначальное выражение:

.

Ответ: .