Предел функции. Число называется пределом функции в точке , если

Число называется пределом функции в точке , если

. (1)

Пишут . Если числа и A конечны, то условие (1) можно записать в эквивалентном виде с помощью неравенств

. (2)

Задача 12. Пользуясь определением предела доказать, что

.

Решение. Нужно доказать, что

.

Фиксируем число , и покажем, что существует число такое, что при условии справедливо неравенство

. (*)

Преобразуем левую часть этого неравенства:

.

Выберем окрестность точки так, чтобы отграничиться от нуля знаменателя . Возьмем, например, и окрестность . Если , то

,

.

Поэтому если , то величина и

, если .

Положим . Тогда неравенство (*) будет выполнено во всех точках найденной -окрестности точки . Тем самым доказано, что

.

Теорема (о единственности предела). Если функция имеет предел в точке, то этот предел единственный.

Теорема (об ограниченности функции, имеющей предел). Если функция имеет конечный предел в точке, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки.

Функция называется бесконечно малой величиной при , если .

Функция называется бесконечно большой величиной при , если .

Свойства пределов:

1) Предел тогда и только тогда, когда функция имеет вид , где - бесконечно малая величина при .

2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая величина.

3) Если - бесконечно малая величина при , не принимающая значение 0 в некоторой проколотой окрестности точки , то - бесконечно большая величина при .

4) Если - бесконечно большая величина при , то - бесконечно малая величина при .

5) (Предельныйпереход в неравенстве). Пусть в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенство . Тогда , если пределы существуют.

6) (О сжатой переменной). Пусть в некоторой проколотой окрестности точки выполняются неравенства и пределы . Тогда .