![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Число называется пределом функции
в точке
, если
. (1)
Пишут . Если числа
и A конечны, то условие (1) можно записать в эквивалентном виде с помощью неравенств
. (2)
Задача 12. Пользуясь определением предела доказать, что
.
Решение. Нужно доказать, что
.
Фиксируем число , и покажем, что существует число
такое, что при условии
справедливо неравенство
. (*)
Преобразуем левую часть этого неравенства:
.
Выберем окрестность точки так, чтобы отграничиться от нуля знаменателя
. Возьмем, например,
и окрестность
. Если
, то
,
.
Поэтому если , то величина
и
, если
.
Положим . Тогда неравенство (*) будет выполнено во всех точках найденной
-окрестности точки
. Тем самым доказано, что
.
Теорема (о единственности предела). Если функция имеет предел в точке, то этот предел единственный.
Теорема (об ограниченности функции, имеющей предел). Если функция имеет конечный предел в точке, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки.
Функция называется бесконечно малой величиной при
, если
.
Функция называется бесконечно большой величиной при
, если
.
Свойства пределов:
1) Предел тогда и только тогда, когда функция
имеет вид
, где
- бесконечно малая величина при
.
2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая величина.
3) Если - бесконечно малая величина при
, не принимающая значение 0 в некоторой проколотой окрестности точки
, то
- бесконечно большая величина при
.
4) Если - бесконечно большая величина при
, то
- бесконечно малая величина при
.
5) (Предельныйпереход в неравенстве). Пусть в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенство
. Тогда
, если пределы существуют.
6) (О сжатой переменной). Пусть в некоторой проколотой окрестности точки выполняются неравенства
и пределы
. Тогда
.
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 290 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!