Предел числовой последовательности

Окрестностью точки называется всякий интервал с центром в этой точке: .

Число называется радиусом окрестности.

Окрестностями бесконечно удаленных точек называются множества

.

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки без самой точки :

.

Числовой последовательностью называется функция .

Число называется пределом числовой последовательности , если

.

Пишут . Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел . В этом случае условие эквивалентно условию , и определение предела имеет вид

.

Примеры сходящихся последовательностей:

, ,

, .

Последовательность называется расходящейся, если она не имеет конечного предела:

.

Примеры рассходящихся последовательностей: , .

Теорема (Вейерштрасс). Всякая неубывающая ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел. (Всякая невозрастающая ограниченная снизу последовательность имеет конечный предел.)

Теорема (Больцано – Вейерштрасс). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Например, из ограниченной последовательности можно выделить две сходящиеся подпоследовательности и .

Последовательность называется фундаментальной, если

.

Теорема (критерий Коши). Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Задача 11. Пользуясь определением предела доказать, что

.

Решение. Нужно доказать, что

.

Фиксируем произвольно число и покажем, что найдется натуральное число такое, что для любых натуральных чисел справедливо неравенство

. (*)

Преобразуем левую часть этого неравенства:

.

Неравенство (*) будет выполнено, если , или , или . Положим - целая часть числа . Тогда для любых будет выполнено неравенство (*), и на основании определения предела числовой последовательности можно сделать вывод, что предел .