Элементарные функции

Функции и не являются основными элементарными. Чтобы допустить использование подобных функций, определим операции перехода к таким функциям.

Пусть функции и определены на одном и том же множестве . Арифметические операции над этими функциями определяются соотношениями

1) ;

2) ;

3) ;

4) , если .

Пусть определены функции и . Тогда сложная функция определяется как

5) .

Функция называется элементарной, если она может быть представлена через основные элементарные функции с помощью конечного числа операций . Примеры элементарных функций:

1) представляется как сумма ;

2) представляется как сложная функция и ;

3) представляется как сложная функция и .

Примером неэлементарной функции является

.

Элементарные функции обычно делятся на следующие классы:

1) многочлены ;

2) рациональные дроби , где и - многочлены;

3) иррациональные функции – функции, которые представляются с помощью конечного числа операций от степенных функций с дробными показателями и не являются рациональными, например, ;

4) трансцендентные функции - функции, которые не являются ни рациональными, ни иррациональными, например, .

Задача 1. Найти область определения функции

.

Решение. Условия существования первого слагаемого:

приводят к ограничению . Условия существования второго слагаемого:

приводят к ограничениям .

Для существования функции необходимо одновременное выполнение условий и , т.е. .

Ответ: [6;+∞).

Задача 2. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования графиков, построить график функции

.

Решение. Область определения функции . Шаги построения графика:

1) Рассмотрим вспомогательную функцию . Её графиком является парабола с вертикальной осью. Значения и – точки пересечения графика с осью ОХ. Так как эти точки симметричны относительно оси параболы, то для вершины параболы абсцисса , а ордината . Парабола пересекает ось ОУ в точке с координатами (0,3).

2) Из графика функции получаем график заданной функции . Для этого нужно сохранить все точки графика функции , расположенные выше оси ОХ, а точки, лежащие ниже оси, зеркально отразить от нее вверх (см. рис. 16).

Рис. 16

Задача 3. Используя графики основных элементарных функций и методы преобразования графиков, построить график функции

.

Решение. Область определения функции . Перепишем уравнение в виде . График строим по схеме:

1) Сначала строим график функции .

2) Сдвигаем график функции вдоль оси ОХ вправо на

. Получаем график функции .

3) Сжимаем в два раза по горизонтали предыдущий график от-

носительно прямой (см. рис. 17).

Рис. 17а

Рис. 17б

Рис. 17в