Решение уравнений

Задача 4. Решить уравнение .

Решение. Область определения уравнения О.О.У. - условие существования квадратного корня: . Отсюда получаем , или .

После преобразования левой части уравнения получаем

,

.

Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений

, .

Так как арифметический корень – величина неотрицательная, то для обеспечения равенства на переменную х нужно наложить дополнительные ограничения, чтобы обе части каждого уравнения были одного знака. Тогда обе части каждого уравнения можно возвести в квадрат и, в силу сделанных ограничений, найденные значения корней не будут требовать их проверки. Получаем

=> => =>

Ответ: -1 и 1.

Задача 5. Решить уравнение .

Решение. О.О.У. . Разделим обе части на . Так как , то область определения уравнения не сузится и потери корней не произойдет:

.

Введем вспомогательное неизвестное. Пусть , где . Тогда новое уравнение

.

Для решения полученных простейших показательных уравнений приведём обе части к общему основанию. После этого совокупность уравнений примет вид

.

Ответ: .

Задача 6. Решить уравнение .

Решение. О.О.У. . Приведем произведения косинусов к суммам по формуле

.

Получим

.

После упрощения уравнение примет вид

.

Теперь для сведения этого уравнения к простейшему тригонометрическому разность в левой его части нужно перевести в произведение по формуле

.

Уравнение примет вид . Если , то , или . Если , то .

Ответ: .

Задача 7. Решить уравнение .

Решение. О.О.У. - условия существования логарифма: . Для решения уравнения необходимо все логарифмы привести к общему основанию, используя формулу перехода к другому основанию

.

Уравнение примет вид

.

После упрощения получим квадратное уравнение с корнями и . Первый корень не удовлетворяет О.О.У.

Ответ: .