Свойства. Термин фрактал был предложен Бенуа Мандельбротом (B

• Отображение соленоида гиперболично.
• Сам соленоид оказывается гомеоморфен множеству, получаемому при реализации процедуры надстройки над одометром — отображением прибавления единицы в 2-адических целых числах .
• Динамика на соленоиде допускает символическое кодирование: точке соленоида можно (почти взаимно-однозначно) сопоставить двусторонне-бесконечным последовательностям нулей и единиц, причём применению отображения будет соответствовать левый сдвиг на пространстве последовательностей, а часть последовательности с положительными индексами будет являться двоичной записью угловой координаты.

Термин фрактал был предложен Бенуа Мандельбротом (B. Mandelbrot) в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных математических структур. Основное определение фрактала, данное Мандельбротом, звучало так: "Фракталом называется структура, которая состоит из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" [37]. Следует признать, что это определение, ввиду своей нестрогости, не всегда верно. Можно привести много примеров самоподобных объектов, не являющихся фракталами, например, сходящиеся к горизонту железнодорожные пути.

В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале. Строгое определение самоподобных множеств было дано Дж. Хатчинсоном (J. Hutchinson) в 1981 году. Он назвал множество самоподобным, если оно состоит из нескольких компонент, подобных всему этому множеству, т.е. компонент получаемых афинными преобразованиями - поворотом, сжатием и отражением исходного множества.

Однако самоподобие – это хотя и необходимое, но далеко не достаточное свойство фракталов. Ведь нельзя же, в самом деле, считать фракталом точку, или плоскость, расчерченную клетками. Главная особенность фрактальных объектов состоит в том, что для их описания недостаточно «стандартной» топологической размерности , которая, как известно, для линии равна 1 ( - линия одномерный объект), для поверхности , и т.д. Фракталам характерна геометрическая «изрезанность». Поэтому используется специальное понятие фрактальной размерности, введенное Ф. Хаусдорфом (F. Hausdorf) и А.С. Безиковичем. Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии она давала те же численные значения, что и топологическая размерность, однако новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Размерность Хаусдорфа - Безиковича как раз и позволяет измерять степень «изрезанности». Размерность фрактальных объектов не является целым числом, характерным для привычных геометрических. Вместе с тем, в большинстве случаев фракталы напоминают объекты, плотно занимающие реальное пространство, но не использующие его полностью.

Пусть есть множество в евклидовом пространстве размерности . Это множество покрывается кубиками размерности , при этом длина ребра любого кубика не превышает некоторого значения , т.е. .

Вводится зависящая от некоторого параметра и сумма по всем элементам покрытия:

.

Определим нижнюю грань данной суммы:

.

При уменьшении максимальной длины , если параметр будет достаточно велик, очевидно, будет выполняться:

При некотором достаточно малом значении параметра будет выполняться:

Промежуточное, критическое значение , для которого выполняется:

и называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича (или фрактальной размерностью). Для простых геометрических объектов размерность Хаусдорфа-Безиковича совпадает с топологической (для отрезка =1, для квадрата =2, для куба =3 и т.д.)

Несмотря на то, что размерность Хаусдорфа-Безиковича с теоретической точки зрения определена безупречно, для реальных фрактальных объектов расчет этой размерности является весьма затруднительным. Поэтому вводится несколько упрощенный показатель - емкостная размерность . При определении этой размерности используются кубики с гранями одинакового размера. В этом случае, естественно, справедливо:

,

где - количество кубиков, покрывающего область . Путем логарифмирования и перехода к пределу при уменьшении грани кубика ( ) получаем:

если этот предел существует. Следует отметить, что в большинстве численных методов определения фрактальной размерности используется именно , при этом необходимо учитывать, что всегда справедливо условие: . Для регулярных самоподобных фракталов емкостная размерность и размерность Хаусдорфа-Безиковича совпадают, поэтому терминологически их часто не различают и говорят просто о фрактальной размерности объекта [13].

При проведении практических вычислений фрактальной размерности для реальных объектов используют следующий методический прием. Пусть на некотором этапе покрытия фрактала пришлось использовать кубиков с гранями размера , а на другом – элементов с гранями размера . Ввиду предполагаемой степенной зависимости справедливо:

,

откуда значение может оцениваться как:

.