Хаотическая динамика. Примеры хаотических систем

Уравнения подвергались всестороннему изучению многими авторами, начиная с Лоренца, который проинтегрировал их численно, используя фиксированные значения управляющих параметров a =10, b=8/3 и единственный переменный управляющий параметр r.
При 0< r<1 (рис.1) имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Другими словами, любое начальное состояние будет приближаться к началу координат при t стремящемся к бесконечности. Когда r становится близким к единице, возникает критическое замедление, а при достижении величиной r значения +1 начало координат теряет устойчивость и от него ответвляются два аттрактора, причем оба глобально и локально устойчивы. В случае r<1.345 равновесия - узлы, r >1.345 - фокусы.
При увеличении r до величины 13.926 две неустойчивые траектории, исходящие из начала координат, возвращаются в начало координат при t стремящемся к бесконечности, при этом перестают быть глобальными аттракторами. Напротив, они окружены; окрестностями, в которых являются локальными. Точка, исходящая из области, лежащей вне этих окрестностей, может совершать колебательные движения из одной окрестности в другую и обратно. Такое поведение называют метастабильным хаосом (рис.2).
При r =24.74 возникает инверсия бифуркации Хопфа, при r > 24.74 остается "странный аттрактор" (рис.3). При больших r в системе существует симметричный цикл (рис.6 - r=400). Далее при уменьшении параметра происходит бифуркация потери симметрии и в системе существуют два несимметричных периодических решения (рис.5 - r=300), затем происходит каскад бифуркации удвоения (рис.4 - r=225).

Каждая из основных областей классической физики создала свою модель хаотической динамики: гидромеханика - уравнения Лоренца строительная механика - аттрактор Дуффинга-Холмса с двумя потенциальными ямами, электротехника - аттрактор Дуффинга-Уэды.
Еще одна простая модель возникла в динамике химических реакций, протекающих в некоторой смеси с перемешиванием. Предложил ее Ресслер:

dx/dt=-(y+z)
dy/dt=x+a*y
dz/dt=b+z*(x-c)

Эти уравнения часто исследовались при a=b=0.2. Периодические движения с периодами 1,2 и 4 могут быть обнаружены при c=2.6; 3.5 и 4.1 соответственно (см. рис.1, 2, 3). При c > 4.23 могут встретиться хаотические движения (рис.4).
Модель Ресслера обладает свойствами линейного осциллятора с отрицательным коэффициентом затухания и обратной связью

y''-a*y'+y=-z.

Она служит примером многомерных систем, динамика которых допускает аппроксимацию одномерным отображением. Если провести сечение Пуанкаре при y=0 и построить на плоскости (x,z) одномерное отображение из точек Хn,т.е. построить график зависимости Хn+1 от Xn, то обращает на себя внимание сходство полученной кривой с квадратичным, или логистическим, отображением. В модели Ресслера наблюдается удвоение периода.

Цепь Чуа - http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BF%D1%8C_%D0%A7%D1%83%D0%B0

Классический геометрический подход к объяснению явления динамического хаоса. Гиперболическая теория. Отображение подковы Смейла, отображение Хенона, соленоид Смейла-Вильямса. Фракталы. Фрактальная размерность. Теория гомоклинического хаоса.

Подкова Смейла — предложенный Стивом Смейлом пример динамической системы, имеющей бесконечное число периодических точек (и хаотическую динамику), причём это свойство не разрушается при малых возмущениях системы.

Соленоид Смейла — Вильямса — пример обратимой динамической системы, аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно, эта динамическая система определена на полнотории, и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория.