Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Критические точки

Тел.: (095) 194-00-15. Тел./факс: (095) 194-00-14.

E-mail: unity@tech.iu

Глава 6.Применение производной к исследованию функций

Исследование функций на монотонность и экстремумы

Одной из основных задач математического анализа является изучение поведения функций – отыскание участков возрастания и убывания, экстремумов функций и так далее. Основные определения были рассмотрены в главе 3, а общим методам исследования функций с помощью производных посвящена данная глава.

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Критические точки.

►Теорема 36. (Теорема Ферма). Если – точка экстремума функции и функция в этой точке дифференцируема, то ее производная в точке равна нулю: .

Доказательство: пусть (для определенности) – точка минимума; тогда в некоторой окрестности точки для всех выполняется неравенство . Рассмотрим два случая:

1) , тогда , а , получаем, что , значит, (1).

2) , тогда , а , получаем, что , значит, (2).

Но по условию функция в точке дифференцируема, значит, существует , а из условий (1) и (2) следует, что он равен нулю. Итак, , что и требовалось доказать.

Аналогично можно доказать справедливость теоремы, если – точка максимума.

Отметим, что в точке экстремума производная может не существовать. Вернемся к функции . В точке она имеет минимум, а производная в этой точке не существует (см. пример 89).

Таким образом, необходимое условие экстремума можно сформулировать так:

►Теорема 37. Если – точка экстремума функции , то в этой точке производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. 1. Точки, в которых , геометрически характеризуются тем, что в них касательная к графику функции параллельна оси , а в точках, где не существует, отсутствует касательная к графику функции , этот график имеет излом. Экстремумы такого вида называют “пикообразными”, на рисунке 44 изображены различные виды точек экстремума непрерывных функций.

Примечание.
2. Заметим, что условие, сформулированное в теореме 37, не является достаточным. Рассмотрим такие функции и . При имеем: и , а и при - не существует; но ни функция , ни функция при не имеют экстремума (см. рисунок 45 а, б), так как являются монотонно возрастающими при всех .

Итак, условие или – не существует, позволяет отыскивать точки, “подозрительные” на экстремум, или критические точки.

Определение 88. Точка , принадлежащая области определения функции , называется критической, если производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует: или – не существует.

Пример 102. Найти критические точки для функции .

Решение: Функция определена при всех , ; найдем ее производную: ; при и .

Ответ: критические точки и .

Пример 103. Найти критические точки для функции .

Решение: функция определена на множестве ; ;

при и ; не существует при , но в этой точке не определена функция, поэтому критическими точками являются только и .

Ответ: критические точки и .

Пример 104. Найти критические точки для функции .

Решение: функция определена при всех , ; найдем ; не обращается в нуль, но не существует при ; так как , то является критической точкой.

Ответ: – критическая точка функции .

Пример 105. Для функций и точка является критической (смотри примечание 2 к теореме 37).