Теоретический материал. Перестановками из элементов называются соединения, которые состоят из одних и тех же элементов и отличаются одно от другого только порядком их

Перестановками из элементов называются соединения, которые состоят из одних и тех же элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.

Число перестановок из элементов обозначают и читают «пэ энное». Формула числа перестановок из различных элементов:

,

.

Произведение первых натуральных чисел обозначают (читается «эн факториал»), т. е. , причём по определению . Таким образом,

(1)

Размещениями из элементов по элементов ( ) называются такие соединения, каждое из которых содержит элементов, взятых из данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число всевозможных размещений из элементов по элементов обозначают и читают «А из эм по эн».

Формула для вычисления - числа размещений из элементов по элементов имеет следующий вид:

(2)

Например, .

Отметим, что правая часть формулы (2) содержит произведение последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно . Пусть в формуле (2) . Тогда

т. е. число размещений из элементов по равно числу перестановок из этих элементов:

(3)

Сочетаниями из элементов по в каждом ( ) называются соединения, каждое из которых содержит элементов, взятых из данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Число всевозможных сочетаний из различных элементов по элементов обозначают и читают «це из эм по эн».

Формула для подсчёта числа сочетаний из различных элементов по элементов в каждом имеет следующий вид:

(4)

Рассмотрим свойства сочетаний, которые в ряде случаев упрощают вычисления при решении задач.

1. .

2. Рекуррентное свойство