Построение графиков. Допустим, что мы взяли миллиметровую бумагу, размеченную на сантиметры и миллиметры

2.3.1 Масштаб

Допустим, что мы взяли миллиметровую бумагу, размеченную на сантиметры и миллиметры. При выборе масштаба нужно исходить из следующих соображений:

а) Экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом. Поэтому лучше выбрать такой масштаб, чтобы расположить точки с разумным интервалом. Но при этом следует иметь в виду два других правила.

б) Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единице измеренной величины (10; 100; 0,1 единицы и т. д.) соответствует 1 см. Можно также выбрать такой масштаб, чтобы 1 см соответствовал 2 или 5 единицам. Других масштабов следует избегать просто потому, что иначе при нанесении точек на график придется произ­водить арифметические подсчеты в уме.

в) Иногда приходится выбирать масштаб из теоре­тических соображений. Так, если нас интересует, в какой мере результат удовлетво­ряющий соотношению у= ах, то на нашем графике зависи­мости у от х обязательно должно быть начало координат. Это вовсе не озна­чает, что надо именно так сделать (бывают случаи, что это невозможно физически).

г) График должен занимать все координатное пространство, желательно под углом 45°, но и это не постулат. Как быть например с периодическими функциями?

2.3.2 Единицы измерения

Как и в случае таблиц, десятичный множи­тель удобнее отнести к единице измерения. Тогда деления на графике можно помечать цифрами 1, 2, 3,..., а не 1 000, 2 000 и т. д. или 0,0001, 0,0002 и т, д. Но размерность в подписи к графику надо соответственно умножить ´10^-3 или ´10⁴.

На осях координат следует указывать название или символ величины (или то и другое). Единицы измерений нужно указывать тем же способом, что и в таблицах, а именно десятичный множитель относить к единице изме­рения. 2.3.3 Как строить графики

Графики делают, в основном, для того, чтобы наглядно представить результаты эксперимента, и поэтому они должны быть предельно ясными. Ниже дан ряд общих советов по вычерчиванию графиков. Пользоваться ими нужно с учетом особенностей каждого конкретного случая.

а) Когда на графике для сравнения с эксперименталь­ными данными проводят теоретическую кривую, то точки, по которым ее проводят, выбирают по своему усмотрению. Наносить их надо без нажима, лучше всего карандашом, чтобы при необходимости можно было стереть. Экспериментальные же данные следует отмечать жир­ными, хорошо выделяющимися точками.

б) Полезно иногда через экспериментальные точки проводить «наилучшую» плавную кривую. Обратите вни­мание на слово плавную (по неопытности начинающие экспериментаторы соединяю экспериментальные точки просто ломаной линией).Но тем самым как бы ука­зывается, что соотношение между двумя величинами носит скачкообразный характер, а это, вообще говоря, весьма маловероятно. Скорее следует ожидать, что данное соот­ношение описывается какой-либо плавной кривой.

в) Если на графике имеется теоретическая кривая, то «плавную» кривую через экспериментальные точки лучше не проводить. Такая кривая, может быть, не совсем соот­ветствует фактическим данным, и тогда она будет мешать прямому сравнению эксперимента с теорией.

г) Чтобы различать экспериментальные данные, отно­сящиеся к разным условиям или разным веществам, мож­но пользоваться разными значками, например темными или светлыми кружками, крестиками или точками разно­го цвета. Но при этом нужно знать меру: если график начинает выглядеть загроможденным, то лучше для каждой группы данных построить отдельный график.

Разные значки удобнее всего, пожалуй, в тех случаях, когда нужно показать, что различные результаты почти не зависят от условий эксперимента или ложатся на одну теоретическую кривую.

д) Размечать деления на осях координат и наносить на график экспериментальные точки лучше всего сначала карандашом. Вдруг вы решите изменить масштаб или окажется, что какая-либо точка случайно поставлена неверно. Если с масштабом и расположением точек все в порядке, то нетрудно обвести все тушью или чернилами и сделать жирные экспериментальные точки. В результа­те вам удастся избежать переделок и лишних затрат гра­фической бумаги.

2.3.4 Как указывать ошибки

Ошибку в экспериментальном значении можно указать следующим образом:

Поскольку нанесение таких значков — дополнительный труд и приводит к усложнению графика, это следует делать лишь в том случае, если информация об ошибках действительно нужна. Иное дело, когда от ошибок может зависеть значи­мость отклонения экспериментальных данных от теоре­тической кривой; в этом случае ошибки необходимо ука­зывать. График, на котором указаны ошибки, помогает выявить расхождение.

Ошибки обычно указывают и еще в одном случае — когда они неодинаковы для разных экспериментальных точек.

2.3.5 Выбор наиболее показательной зависимости

Допустим, что мы проводим эксперимент, цель кото­рого — проверить справедливость соотношения у = х. Полученные нами пары значений х и у показывают, что данное равенство приблизительно выполняется. Чтобы представить результаты графически, мы можем построить график зависимости у от х (рис.1 а ). Но гораздо более показательным был бы график зависимости разности у- х от х, ибо эта разность мала по сравнению с величиной у (рис.1 б). Отклонения экспериментальных точек от прямой линии на обоих графиках одинаковы, в случае а отклонение вряд ли значимо, а в случае б, по-ви­димому, значимо. И мы могли бы тогда выбрать более крупный масштаб.

Рис. 1. График функции у=х, а- в координатах у-х, б- в координатах (у-х)-х.

Другим примером подобного рода может служить функция у=mх.

График зависимости у от х полезен тем, что дает общее представление о ее характере (рис.2 а). Но более показательным при проверке данного соотно­шения будет график зависимости у/х от х (рис.2 б). В этом случае нам не потребуется, чтобы на графике обязательно было начало координат и мы можем выбрать область изменения величин у/х и х как нам удобно (рис.2 б).

Рис. 2. График функции у=mх, а- в координатах у-х, б- в координатах (у/х)-х.

2.3.6 Преобразование графиков.

Часто бывает, что известны гра­фики каких-либо функций, а требуется построить графики других функций, так или иначе выра­жающихся через первые. Пусть дан график функции у= f(х) итребуется построить графики функций z=f(x)+a и u=f(x+b) (а и b — по­стоянные), причем величины z и u будем откладывать по той же оси, что и у. Тогда при любом х будет z=y + a, т. е. график функции z(х) получается из графика функции у (х) при помощи пе­реноса вдоль оси у на а в положительном направлении. Что касается графика функ­ции и(х), то часто по ошибке говорят, что он получается из графика у (х) переносом на b вдоль оси х в положительном направ­лении. На самом деле направление переноса получается прямо противоположное. Конечно, если а<0 и b < 0, то пере­нос будет в противоположном направлении.

Часто график функции преобразуют для проведения экстраполяции, особенно часто к нулевой концентрации. Например, при вычислении предельной эквивалентной электропроводности строят график в координатах электропроводность – корень квадратный из концентрации, хотя имеется зависимость от концентрации.

2.4 Методы линеаризации графиков

Часто для проверки правильности предлагаемой функции (сравнивают экспериментальную и теоретическую зависимости) или нахождения отдельных коэффициентов используется построение линеаризованного графика. Используются в основном 2 метода линеаризации: преобразование функции и выявление элементов, подчиняющихся пропорциональной зависимости, но существуют и другие.