Способы задания функций

Чтобы функцию, т. е. зависи­мость одной величины от другой, можно было изучить, она должна быть как-то задана. Имеется несколько способов задания функции.

2.2.1 Аналитический способ (при помощи формулы)

В этом способе явно указываются мате­матические действия, которые надо совершить над независимой переменной, чтобы получить значение функции. Например, формула у=х² - 2х означает, что для того, чтобы получить значение функ­ции у, нужно значение аргумента возвести в квадрат и из резуль­тата вычесть удвоенное значение этого аргумента.

Аналитическое задание функции - основной способ задания в расчетных задачах.

Преимущества аналитического способа заключаются:

а) в сжатости, компактности задания;

б) в возможности вычислить значение функции для любого зна­чения независимой переменной из области определения;

в) наконец, и это самое главное, в возможности применить к дан­ной функции аппарат математического анализа, ибо он наилучшим образом приспособлен как раз к аналитической форме задания функций.

Если, например, мы хотим исследовать методами математического анализа функциональную зависимость между температурой и элек­трическим сопротивлением медного стержня, то нам нужна именно формула, связывающая сопротивление и температуру, а не отдельные (пусть даже известные в большом числе) соответственные значения функции и независимой переменной.

Неудобствами аналитического задания функции являются:

а) недостаточная наглядность;

б) необходимость производства вычислений, подчас очень гро­моздких.

2.2.2Табличный способ

При табличном задании просто выписы­вается ряд значений независимой переменной и соответствующих им значений функции. Этот способ часто употребляется. Хорошо изве­стны таблицы логарифмов, таблицы зависимости растворимости от температуры и др.

Табличный способ задания функций особенно распространен в есте­ствознании и технике. Числовые результаты последовательных наблю­дений какого-нибудь процесса обычно группируются в виде таблицы. Например, при изучении зависимости скорости химической реакции (u) от температуры (Т) была получена сле­дующая таблица:

Т
u		1.3	1.6		2.5	3.1

Скорость является функцией температуры, и приведенная таблица дает значения этой функции для указанных значений неза­висимой переменной. Каждая из разностей значенийназывается шагом таблицы. Наиболее удобны таблицы с постоянным шагом.

Преимуществом табличного задания функций является то, что для каждого значения независимой переменной, помещенного в таблице, можно сразу, без всяких измерений и вычислений, найти соответст­вующее значение функции. Таблицы удобно использовать при обработке данных с использованием ЭВМ, они создаются при цифровой автоматической записи сигнала.

Недостатки.

а) Могут понадобиться значения функции при значе­ниях аргумента, которых нет в таблице; тогда приходится произ­водить дополнительные вычисления— интерполяцию (для промежу­точных значений аргумента) или экстраполяцию (для значений аргумента, лежащих за пределами таблицы), что иногда приводит к неверным результатам.

б) Обычно невозможно задать функцию полностью: найдутся такие значения независимой переменной, которые не помещены в таб­лице.

в) По таблице весьма трудно выявить характер изменения функции при изменении независимой переменной.

г) Таблицы часто занимают большой объем, составляются с затратой большого труда.

д) Недостатком этого способа является также то, что он плохо приспособлен к выполнению математических дей­ствий: ведь каждое такое действие требует составления новой таб­лицы, что является трудоемким делом и не всегда может быть вы­полнено достаточно точно.

2.2.3 Графи­ческий способ (с помощью графика).

Графиком функции (в системе декартовых прямоугольных координат) называется множество всех точек, абс­циссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты — соответствующими значениями функции. Иными словами, если взять абсциссу, равную некоторому значе­нию независимой переменной, то ордината соответствующей точки графика должна быть равна значению функции, соответствующему данному значению независимой переменной (масштабы при этом на обеих осях могут быть как одинаковыми, так и различными).

Графиком функции обычно служит некоторая кривая (в частности и прямая) линия. Графиком постоянной величины служит, очевидно, прямая, параллельная оси абсцисс.

Обратно, всякая линия на координатной плоскости ОХУ изобра­жает некоторую функцию, именно ту, значения которой равны ор­динатам точек линии при значениях независимой переменной, равных абсциссам. Этот способ очень нагляден, так как по графику легко детально проследить за характером из­менения функции. Кроме того, по графику можно быстро находить значения функции с небольшой точностью, но, только в изображенном диапазоне изменения аргумента. Од­нако составление графика с достаточной точностью требует затраты определенного труда, а точность, с которой получаются значения функции из графика, может оказаться недостаточной.

В химии, физике и в технике функции нередко задаются графически, причем иногда график является единственным доступным средством задания функции. Чаще всего это бывает при употреблении самопи­шущих приборов, автоматически записывающих изменение одной ве­личины в зависимости от изменения другой (например, времени). В ре­зультате на ленте прибора получается линия, графически задающая регистрируемую прибором функцию.

К графику функции, как и к таблице, не может быть непосред­ственно применен аппарат математического анализа, но график функ­ции наряду с этим недостатком обладает весьма важным пре­имуществом — наглядностью, что делает его чрезвычайно по­лезным при изучении функции.

2.2.4 Другие способы.

Задание функции с помощью указания программы для вычисления ее значений на цифровой вычислительной машине.

Формулирование закона изменения значения функции от изменения аргумента словесно.

Все эти способы задания функции как бы дополняют друг друга, так что часто возникает задача о переходе от одного способа к другому — о построении графика, о составлении таблицы (так на­зываемое табулирование), о подборе формулы. В нашем курсе мы столкнемся с такими задачами.