Функция

2.1.1 Основные представления

Часто бывает, что в одном и том же рассмотрении участвует одновременно несколько перемен­ных величин, взаимосвязанных друг с другом таким образом, что изменение одних величин сказывается на значениях других. Тогда говорят, что между рассматриваемыми величинами имеется функ­циональная зависимость. Например, при изменении условий, в кото­рых содержится какая-либо определенная порция газа, функциональ­ная зависимость будет между объемом V, температурой Т и дав­лением р этого газа, так как эти величины взаимосвязаны (?какие уравнения взаимосвязи для газов вы знаете?). Функцио­нальная зависимость имеется между площадью круга и длиной его радиуса, между концентрацией реагирующих веществ и скоростью реакции между ними (?абсолютен ли данный пример, докажите?), плотностью раствора и массовой долей растворенного вещества и т. п.

Обычно среди функционально зависимых между собой величин можно указать некоторые величины (независимые переменные), зна­чения которых могут выбираться более или менее произвольно, тогда как значения остальных величин (зависимых переменных) определя­ются значениями первых. Например, при рассмотрении порции газа за независимые переменные можно взять V и Т давление будет тогда зависимой переменной.

Закон (правило), по которому значениям независимых перемен­ных отвечают (соответствуют) значения рассматриваемой зависимой переменной, называется функцией.

Таким образом, каждый раз, когда нам дан такой закон соответствия, мы можем сказать: вот функция. Функция — одно из важнейших математических понятий.

Часто независимые переменные называются также аргументами, зависимая переменная — функцией от этих аргументов. Обыч­но такое двоякое употребление слова «функция» не приводит к ошибкам.

Следует отметить, что если между величинами имеется функ­циональная зависимость, то часто выбор того, какие из этих вели­чин считать независимыми, а какие — зависимыми, является довольно условным. Так, в приведенном примере с порцией газа за независи­мые переменные можно было бы принять Т или p, a V — за зависи­мую переменную. ?Приведите схему опыта, в котором бы Т и р задавались, а объем V находился.?

Выбор того, какие перемен­ные более естественно или более удобно принять за независимые, иногда довольно важен. Функции могут быть от одного аргумента или от двух и более аргументов (? приведите примеры?). Заметим, что для того, чтобы некоторая величина умогла рас­сматриваться как функция от независимой переменной х, нет надоб­ности, чтобы между изменениями этих величин существовала глу­бокая причинная связь. Достаточно только, чтобы существовал определенный закон, но которому значениям х отвечали бы значения у, этот закон может быть нам и неизвестен. Например, температуру в какой-либо точке тела при нагревании можно считать функцией времени, так как ясно, что значениям времениотвечают определенные значения температур, хотя, конечно, изменение температуры объясняется не просто течением времени, но рядом глубоких физических причин.

2.1.2 Обозначения.

Если величина у является функцией от вели­чины х, то обычно пишут y=f(x) (читается: «игрек есть эф от икс»), где f - начальная буква латинского слова functio (знак функ­ции). Частные значения этой функции получаются, если аргументу х придать частные (конкретные) значения. Пусть, например, y=f(x) имеет такой вид: y=x². Тогда при х =2 будет у =4, при х=- 0,6 будет у = 0,36 и т. п. Это можно написать так: f(2) = 4, f(-0,6) = 0,36 и т. д. Запись вида y=f(x) применяется, если конкретное выражение функции слишком громоздкое или даже нам не известно, а также для формулировки правил и свойств, общих для всех или многих конкретных функций (как, например, в алгебре формула (а+б) ³ = = а³ + 3а²б + 3аб² + б³приводится не для конкретных чисел, а для букв, вместо которых можно подставить любые конкретные числа).

Если одновременно рассматривается несколько различных функ­ций, то, кроме f, приходится применять другие буквы (F, j, Ф и т. п.) или применять индексы (значки): f₁, f₂ и т. п. Однако в раз­ных рассмотрениях одной и той же буквой f можно обозначить раз­личные функции, как в алгебре в одной и той же задаче буквой а нельзя обозначить различные величины, но в другой задаче та же буква а может означать что-либо другое. Если же разные величины связаны одинаковой зависимостью, то можно применять один и тот же знак функции, так как f означает закон зависимости одной вели­чины от другой. Например, если у = х³, z=и⁵, v = t³, то можно написать y=f(x), z=j(u), v=f(t); в данном случае знак f озна­чает возведение аргумента в третью степень, а знак j—в пятую.

Аналогично обозначаются функции от нескольких аргументов. Пусть, например, z = x² — х2^у, х и у — независимые переменные, z—зависимая; тогда можно написать z=f(x, у), запятая в данном случае является признаком функции от двух аргументов. В этом случае частные значения находятся так:

f(2,1) = 2²-2×2¹ = 0; f(1, 2) = 1²- 1×2² = -3 и т. п.

Ко всем этим обозначениям надо привыкнуть и свободно с ними мани­пулировать. Приведем несколько примеров таких манипуляций. Пусть рассматриваются две функции у = f(х) = х² - 3х и z = j (х) = 2х+1, а а - по­стоянное число. Тогда:

f(a) = a²- 3а (значение первой функции при х = а);

j (a²) = 2a²+l (значение второй функции при x = а²);

f (x²) = (x²)² - 3x² = x⁴-3x² [значение у, если вместо аргумента подстав­лено х²; получается новая функция от х, которую можно обозначить, например, через F (х)];

[f(x)]² = (x²—Зх)² = x⁴—6х²+9x² (еще новая функция х);

j(x+a) = 2(x + a)+ 1 = 2x+2a + 1 (новая функция х);

f(х) j (x)= (x²- 3x) (2x+1) = 2x³-5x²-Зх;

f(j(x))= [j(x)]² -3j(х) = (2х+ 1)² - 3 (2x + 1) = 4x² –2x -2;

j(f (x)) = 2f (x)+ 1 = 2 (х²-3x) + 1 =2x²-6x+ 1;

f(x + s) = (x+s)² - 3(x+s) = x² + 2xs+s² – 3x - 3s [функция двух независимых переменных, которую можно обозначить через Ф (х, s)] и т. п.

В разобранных примерах мы сталкиваемся, в частности, с обра­зованием «функции от функции» или, как говорят, с образованием сложной функции. Обычно сложная функция получается следующим образом. Пусть переменная у зависит от переменной и, которая в свою очередь зависит от переменной х, т. е. y=f(u), u =f(x). Тогда при изменении х будет меняться и, а потому будет меняться и у. Значит, у является функцией х, y=f( j (x)), которая и называется сложной функцией; переменная uв данном случае называет­ся промежуточной. Может быть и несколько промежуточных пере­менных. Приведите примеры таких функций используемых в химии.