Средние величины. Если дан ряд величин, то всякая величина, заключенная между наименьшей и наибольшей из данных величин

Если дан ряд величин, то всякая величина, заключенная между наименьшей и наибольшей из данных величин, называется «средней». Из средних величин наиболее употребительны среднее арифметическое и среднее геометрическое.

Средняя арифметическая величина (или среднее арифметическое) получается, от сложения данных величин и деления суммы на число этих величин.

Среднее геометрическое получается от перемножения данных ве­личин и извлечения из произведения корня, показатель которого равен числу величин.

Случай­ные ошибки почти всегда компенсируются при вычислении среднего.

?Приведите примеры, взяв ряд из 3 или 5 примерно равных величин. Не забывайте, что извлечение, коря необходимо произвести, как указывалось выше. Найдите абсолютные и относительные погрешности полученных величин друг по другу.?

Среднее геометрическое всегда меньше среднего арифметического, кроме того случая, когда все взятые числа равны. Тогда ср. ар. равно ср. геом. Когда различия между взятыми числами составляют малые доли самих чисел, то и разность между ср. ар. и ср. геом. мала в сравнении с ними.

Вычисление ср. ар. имеет большое значение во всех областях практики.

?Измеряется объем раствора щелочи (NаОН) затраченный на титрование раствора кислоты между двумя минимальными отметками на бюретке заключен объем 0,1 мл (на глаз мы легко можем разбить этот объем примерно на три части). Сделано 5 титрований. Результаты их (в миллилитрах): 62,36; 62,30; 62,33; 62,39; 62,40. Различие результатов объ­ясняется случайными неточностями измерений. Вычислите концентрацию двухосновной кислоты, если аликвотный объем равен был всегда 25,00 мл, а эквивалентная концентрация щелочи 0,0997 моль экв/л. Не забывайте все расчеты и промежуточные величины должны быть обработаны соответственно.?

Числа, берущиеся для вычисления ср. ар., обычно мало отли­чаются друг от друга. Тогда вычисление ср. ар. можно значительно облегчить с помощью следующего приема:

1) Выбираем произвольно какое-нибудь число, близкое к данным числам. Если данные числа отличаются друг от друга только в последнем знаке, то в выбираемом числе предпочтительно взять за последнюю цифру 0; если данные числа отличаются друг от друга и двух последних цифрах, удобно взять число с двумя нулями на конце и т. д.

2) Вычитаем это число по очереди из всех данных чисел.

3) Берем ср. ар. найденных разностей.

4) Прибавляем ср. ар. к взятому числу.

Пример. Найти ср. ар. чисел: 62,36; 62,30; 62,32; 62,31; 62,36; 62,35;

1) Выбираем число 62,30 в качестве близкого.

2) Вычитаем 62,30 из данных чисел; находим разности (в сотых долях):

6; 0; 2; 1; 6; 5.

3) Берем ср. ар. разностей; получаем 4 (сотых).

4) Прибавляем 0,04 к 62,30. Получаем 62,34. Это — искомое ср. ар.

Если ср. ар. получено из сравнительно небольшого ряда данных например из 5 или 10, то не исключена возможность, что истинная величина несколько отклоняется от вычисленной средней. Тогда важно знать, как велико может быть это отклонение; речь идет не о теоретически мыслимом отклонении (оно может быть как угодно велико), а о практически возможном. Величина последнего определяется величиной среднего квадратичного отклонения.

Средним квадратичным отклонением называется квадратный ко­рень, из ср. ар. всех квадратов разностей между данными числами и их ср. ар. Среднее квадратичное отклонение принято обозначать греческой буквой s («сигма»);

, где a₁ и т.д. - исходные данные, а_{среднее} - среднее арифметическое, n – количество исходных данных.

В формуле любую из разностей можно заме­нить, ей противоположной; это дает возможность не вводить в вычисление отрицательных чисел.

Полученную величину необходимо умножить на масштаб или на точность, с которой взяты наши величины, в задаче выше точность составляла 0,03. Полученная величина будет определять, в каких границах находится истинное значение величины от ср. ар. Перескок (точнее возможность) за эти границы при количестве данных боле 10 менее 0,5%.

Если число измерений значительно больше десяти, то максималь­ное практически возможное отклонение истинной величины от ср. ар. будет меньше чем s. Так, когда число измерений примерно равно 1000, практически возможны лишь отклонения, не превышающие 0,1s.

Каково среднее квадратичное отклонение в задаче на титрование двухосновной кислоты?

Занятие №2. Функции и графики.

Основные понятия и термины.

Функция и функциональная зависимость, обозначение и способы задания (аналитический, табличный, графический, описательный, программный) и их взаимосвязь. Графики функций, правила и способы их изображения. Преобразования графиков и их линеаризация. Методы линеаризации функций. Интерполяция и экстраполяция. Подбор эмпирической формулы к графическим данным. Использование линеаризованной формы для подбора функции. Нахождение коэффициентов функции графически. Практические применения пропорций.