Приближенные вычисления

1.6.1 Правило подсчета цифр.

Различают приближенные вычисле­ния со строгим учетом погрешностей и без строгого учета. В менее ответственных вычислениях с приближенными числами пользуются вторым способом, основанным на так называемых правилах подсчета цифр. В этих правилах используются понятия десятичных знаков, значащих, точных и сомнительных цифр. Напомним, что десятичными знаками числа называют все, его цифры, стоящие правее запятой. Например, числа 3,5 и 3,05 имеют соответственно один и два десятичных знака. Значащими цифрами числа называются все его цифры, начиная с отличной от нуля первой слева, кроме нулей, стоящих в конце записи числа на месте отброшенных при округлении цифр (эти нули обычно подчеркивают или пишут меньшими, также можно поступать и с добавленными неверными знаками).

Пример. В числе 3,5 — две значащие цифры, в числе 0,0307— три значащие цифры. В числе 35000, полученном в результате округле­ния до тысяч, две значащие цифры.

Если граница абсолютной погрешности приближенного числа равна половине единицы разряда последней его цифры, то все цифры этого числа называют точными. Если же эта граница больше половины единицы разряда последней цифры числа, то последняя цифра такого числа называется сомнительной.

Пример. В числе 2,06±0,005 цифры 2, 0, 6 точные. В числе 2,06±0,01 цифры 2 и 0 точные, а 6—сомнительная. В числе 35000, полученном в результате округления до тысяч, цифры 3 и 5 точные, а все три нуля — сомнительные.

Вычисления с приближенными числами, записанными таким спо­собом, выполняют, как над точными числами, но, придерживаясь следующих правил.

Правило 1. При сложении и вычитания приближен­ных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном, данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Пример. Найти сумму приближенных чисел 127,42; 67,3; 0,12 и 3,03.

Правило 2. При умножении и делении приближенных чисел в произведении надо сохранить столько значащих цифр, сколько, их есть в данном числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример. Умножить приближенные числа 3,4 и 12,32

Задача. Теплота реакции горения приближенно равна 7,6 кДж, количество вещества — 0,38 моль.Чему равна молярная теплота сгорания?

Молярная теплота сгорания равна частному от деления 7,6 на 0,38. Действие деления выполняют так: если числа не делятся на цело, то делят до следующего знака превышающего число наименьших значащих цифр и заканчивают деление, округляя последний знак, если числа делятся нацело, то округляют следующий за значащей цифрой знак.

Правило 3. При возведении приближенных чисел в квадрат и куб в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в основании.

Примеры. 2,3²= 5,29»5,3; 0,8³= 0,512» 0,5.

Правило 4. В промежуточных вычислениях результатах следует брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила, а округление производить после окончания вычислений.

Правило 5. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с n цифрами данные следует брать с таким чис­лом цифр, которое дает согласно перечисленным правилам n + 1 цифр в результате.

Сформулированные выше правила подсчета цифр имеют вероятностный смысл: они наиболее вероятны, хотя суще­ствуют примеры, не удовлетворяющие этим правилам. Поэтому вычис­ления способом подсчета цифр — самый грубый способ оценки погреш­ности результата действий. Однако он очень прост и удобен, а точность таких вычислений вполне достаточна для большинства технических расчетов. Поэтому этот способ широко распространен в вычислительной практике.

В ответственных вычислениях пользуются способом границ или способом граничных погрешностей, а также логарифмическим методом.

1.6.2 Приближенные вычисления по способу границ

Наилучшим в смысле строгости из известных способов приближен­ных вычислений является способ границ. Пользуясь этим способом, по известным нижним и верхним границам данных чисел находят от­дельно нижнюю и верхнюю границы результата. Вообще, нижняя граница суммы приближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, а верхняя — сумме верхних границ сла­гаемых. Символически это можно записать так:

НГ(х + у) = НГх + НГу; ВГ(х + у) = ВГх + ВГу.

Аналогичные правила справедливы для умножения:

НГ(х×у) = НГх • НГу; ВГ (х×у) = ВГх • ВГу.

Для обратных действий — вычитания и деления — соответствую­щие правила имеют вид:

НГ(х — у) = НГх — ВГу;

ВГ(х — у) = ВГх — НГу;

НГ(х/у)=НГх/ВГу;

ВГ(х/у)=ВГх/НГу.

Из определения НГ и ВГ вытекают также следующие правила:

1) округлять НГ можно только по недостатку, а ВГ — по избытку;

2) чем меньше разность ВГх — НГх, тем точнее опреде­ляется х;

3) в качестве приближенного значения хрекомендуется брать среднее арифметическое чисел НГх и ВГх; или число, близкое к нему.

Применение способа границ при вычислениях рассмотрим на примере: , если а»9,21 (±0,01), б»3,05 (±0,02), с»2,33 (±0,01).

Определяем НГ и ВГ каждого из чисел а, 6, с и, выполнив над ними соответствующие действия, находим НГ и ВГ числа х. Запись удобно оформить в виде таблицы.

Компоненты	НГ	ВГ
а	9,20	9,22
б	3,03	3,07
с	2,32	2,34
а-б	6,13	6,19
(а-б)×с	14,22	14,49
а+б	12,23	12,29
х	1,15	1,19

1.6.3 Логарифмический метод

Практически не уступающим в точности, но превосходящий по простоте расчетов является логарифмический метод, максимально в смысле точности из известных способов приближаясь к методу границ.Пользуясь этим способом, вычисления с приближенными числами выполняют, как и над точными числами, но, придерживаясь следующих правил: число значащих цифр под знаком логарифма равно количеству значащих цифр до логарифмирования; округления производятся в конце после операции потенцирования; при округлении ориентируются на менее точную величину; если менее точная величина имеет малый вес среди величин или операций над ними увеличивают степень точности на один знак.

Задание для работы в аудитории: Оцените с какой точностью нужно производить взвешивание в работе «Определение молекулярной массы углекислого газа» чтобы получить число с точностью до двух знаков (не забывайте, взвешивание производятся на технохимических весах). С какой максимальной точностью можно получить значение молекулярной масс в наших лабораторных условиях, если самые точные наши весы взвешивают с точностью до 0,05 мг. Предложите способы повышения точности измерений в наших условиях.