Операции над приближенными числами и их погрешности

1.4.1 Сложение и вычитание приближенных чисел.

Рассмотрим пример. Пусть колба и пробка взвешивались раздельно, причем массы их оказались соответственно равными m_К= 323,1 г и m_П = 5,722 г (пробка взвешивалась на более точных весах). Для на­хождения суммарной массы колбы с пробкой было бы неправильно считать так:

m_К+П = 323,1 + 5,722 = 328,822г.

Действительно, масса колбы определена только с точностью до 0,1 г, и потому сотые и тысячные в ответе являются не только лишними цифрами, но даже вредными: форма ответа такова, как будто m_К определено с точностью до 0,001, что неверно. По­этому при сложении m_Пследует округлить до 2х знаков.

И проводить вычисления так: m_К+П = 323,1 + 5,7 =328,8 г.

Этот же ответ получится, если округлить результат, подсчитанный выше. Таким образом, в сумме берется столько знаков после запя­той, сколько их имеется у слагаемого с наибольшей абсолютной погрешностью.

Если слагаемых много, то ошибки в них могут складываться и дать большую ошибку в сумме (систематический «недолив», явно не учитывается на ликероводочных и пивосолодовых заводах). В таких случаях рекомендуется правило лишнего знака: оставлять один лиш­ний знак, а в ответе произвести его округление.

Пусть, например, надо найти сумму чисел: 132,7; 1,274; 0,06321; 20,96; 46,1521.

Самая большая абсолютная погрешность у первого слагаемого: она равна 0,1. Поэтому прочие слагаемые округляем до 0,01:

å=132,7 + 1,27 + 0,06 + 20,96 + 46,15 = 201,14

т. е. å = 201,1. Если бы мы не воспользовались правилом лишнего знака и округляли все слагаемые до 0,1, то получили бы менее точный результат:

å = 132,7+ 1,3 + 0,1+ 21,0+46,2 = 201,3.

Другой пример. Пусть надо найти сумму с точностью до 0,01, причем считается, что целые числа, стоящие под зна­ками корня квадратного, совершенно точные. Пользуясь правилом лишнего знака, подставляем значения корней с точностью до 0,001:

2,236 + 2,449 + 2,646 + 2,828 = 10,159, т. е. å= 10,16.

Если число слагаемых весьма велико, следует пользоваться двумя лишними знаками. При вычислении суммы нескольких слагаемых, заданных с оди­наковым числом знаков после запятой, следует иметь в виду, что предельная абсолютная погрешность у суммы будет больше, чем у слагаемых; поэтому ответ целесообразно округлить до предыдущего знака. Например, пусть: å = 1,38 + 8,71 + 4,48 + 11,96 + 7,33.

Получим å = 33,86. Однако последняя цифра очень сом­нительная; поэтому следует написать ответ в виде å = 33,9.

Предельная абсолютная погрешность суммы или разности не­скольких величин равна сумме предельных абсолютных погрешностей этих величин. Например, если две величины определены с точностью до 0,1, то, как легко понять, сумма или разность этих величин определены с точностью до 0,2, так как ошибки могут сложиться. Еслислагаемых много, то очень маловероятно, чтобы все ошибки сложились. В этом случае для определения погрешности суммы надо пользоваться методами теории вероятностей. Из нее следует, что один знак в сумме надо округлять, начиная примерно с пяти слагаемых, а два знака — примерно с 500.

При вычитании приближенных чисел правила те же, что при сложении, но надо иметь в виду, что при вычитании близких чисел относительная точность резко ухудшается. Например, пусть надо найти разность 327,48 и 326,91. В вычитаемом и уменьшае­мом D = 0,01, т. е. d < 0,004%.

В разности же равной 0,57 предельная абсолютная погрешность равна 0,02, поэтому предельная относительная погрешность d =3,5%. Относительная погрешность увеличилась в 1 000 раз!

Поэтому надо стараться измерять или вычислять разность близких чисел без выполнения такого вычитания. В случае если без такой операции обойтись невозможно (например: нахождение массы осадка после прокаливания в тигле), необходимо подбирать тигель возможно меньшей массы и проводить взвешивание с максимально возможной точностью.

1.4.2 Погрешность произведения, деления, степени.

Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей. Пусть перемножаются приближенные числа 50 и 20 и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя равна 0,4%, а второго 0,5%. Тогда относительная погреш­ность произведения 50x20=1000 приближенно равна 0,9%.! Относительная погрешность произведения всегда больше чем сумма относительных погрешностей сомножи­телей; она превышает эту сумму на произведение относительных по­грешностей сомножителей. Это превышение обычно так невелико, что его не приходится учитывать. В нашем случае имеем d = 0,004 + 0,005 + 0,004 • 0,005 = 0,00902. Превышение здесь составляет 0,00902—0,009 = 0,00002, т. е. около 0,2% от приближенной величины относительной погрешности. Это превышение столь незна­чительно, что его нет смысла учитывать.

Относительная погрешность частного приближенно равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя.

Пример. Приближенное число 50,0 делится на приближенное число 20,0. Погрешность делимого и делителя 0,05. Тогда относительная погрешность делимого = 0,1%, а относительная погрешность делителя = 0,25%. Относительная погрешность частного 50,0:20,0 = 2,50 должна составлять приблизительно 0,35%.

Точная величина относительной по­грешности всегда превышает приближенную, вычисленную по вышеприведенному пра­вилу, процент превышения примерно равен относитель­ной погрешности делителя.

Возведение в (целую) степень есть повторное умножение, и потому к нему относится все сказанное выше. При возведении в не­большую степень результат имеет столько же верных цифр, сколько взятое число или содержит небольшую ошибку в последнем знаке. Если же степень велика, то накопление небольших ошибок может отразиться и на цифрах высшего разряда.

При извлечении корня любой степени результат имеет, по меньшей мере столько же верных цифр, сколько их было в подкоренном числе.

Решение этой обрат­ной задачи опирается на приведенные правила приближенных вычислений.

Вычисляется точный объем мерной колбы (примерный объем 100 мл) методом взвешивания воды, температура поддерживается 20± 2° С. С какой точностью необходимо произвести взвешивание, чтобы достичь максимально возможной точности. Какие дополнительные данные вам необходимы?