Погрешности

Пусть точное значение какой-либо величины равно А, а приближенное равно а. Тогда погрешность, т. е. отклонение точ­ного значения от приближенного, равна D А=А — а; она может получить­ся как положительной, так и отрицательной. Эта погрешность обычно бывает точно неизвестна, так как неизвестно значение А. Поэтому обычно задаются предельные погрешности D А ₁ и D А ₂ между которыми содержится истинная погрешность: D А ₁<А-а<D А ₂ или а - D А ₁<А< а + D А ₂.

В этом случае говорят, что задана двусторонняя оценка величины А. Так как задавать две предельные погрешности не удобно, то часто задается предельная абсолютная погрешность ±DА (ее можно называть просто абсолютной погрешностью, именно так мы и будем часто говорить, подразумевая предельную абсолютную погрешность).

Например, при измерении значение числа Авогадро (N_A) получено 6,022045*10²³ моль^-1, причем мы можем ручаться за точность дo 3,1*10¹⁸. Это значит, что в дан­ном случае D А =3,1*10¹⁸ и 6,022014*10²³ < N_A <6,022076*10²³ моль^-1; можно написать N_A = (6,022045*10²³ ±3,1*10¹⁸) моль^-1 или N_A = ((6,022045±0,000031)*10²³) моль^-1.

Предельная абсолютная погрешность не полностью характеризует точность измерения: например, если она равна 1 единица, то еще неясно, грубая это ошибка или нет, так как важно, что измеря­ли — число частиц или температуру плавления гелия. Качество измерения больше характеризуется предельной относительной погрешностью d (или просто относительной погрешностью), которая вы­числяется по формуле: d=D А /А. Предельная относительная погрешность безразмерна и часто выражается в процентах, причем для упрощения ее значение обычно округляется в сторону увеличения. В приведенном примере с нахождением числа Авогадро предельная относительная погрешность в процентах равна < 0,00052%.

Для многих прикидочных (на глазок) расчетов достаточна точность (т. е. относительная погрешность) порядка процентов и даже десятков процентов. С другой стропы, например, точные измерения и расчеты фундаментальных величин требуют точности ниже сотых и даже десятитысячных процента (?подсчитайте предельную относительную погрешность массы электронов в атомах урана и бора?).