Решение. а)Найдем все частные производные функции до второго порядка включительно:

а) Найдем все частные производные функции до второго порядка включительно:

, , , , .

б) Найдем стационарные точки :

Þ Þ

Þ – стационарная точка

в) Составим :

.

Следовательно, в точке есть экстремум.

г) Определим знак : .

Следовательно, – точка минимума, и

.

Ответ: – точка минимума, .

Занятие 17.
Метод наименьших квадратов для обработки результатов эксперимента

В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическими формулами, т.е. формулами, составленными на основе обработки статистических данных или результатов опытов. Одним из широко распространенных приемов построения таких формул является метод наименьших квадратов. Изложим кратко идею этого метода.

Пусть требуется установить зависимость между двумя величинами и , например, между стоимостью потребляемого сырья и стоимостью выпущенной продукции.

Произведем обследование видов продукции и представим результаты исследования в виде таблицы:

Изобразим на координатной плоскости точки с координатами . Предположим, что эти точки располагаются на плоскости около некоторой прямой линии (см. рис.5). Это означает, что между переменными величинами и существует приближенная линейная зависимость вида

при некоторых и .

Для нахождения , применяют метод наименьших квадратов, позволяющий получить оптимальную (в некотором смысле) прямую.

Обозначим y_i*=ax_i+b (i=1,…,n) – значения переменной , получаемые при помощи уравнения . Обозначим

.

Величина показывает отклонение расчетного значения переменной (т.е. ) от экспериментального (т.е. от ).

Метод наименьших квадратов подбора и заключается в том, что эти параметры выбираются из условия: сумма – минимальна.

Запишем выражение для , учитывая формулы для :

Выберем значения и так, чтобы функция двух переменных u= имела бы в соответствующей точке минимум. Напомним необходимое условие экстремума:

, .

Имеем:

Получаем систему уравнений:

Þ

Решив эту систему уравнений, находим и , и затем подставляем их в эмпирическую формулу .

Предположим теперь, что точки на плоскости располагаются вблизи некоторой параболы, т. е. приближенно зависит от следующим образом:

Тогда:

, , ,

Здесь – функция трех переменных , , .

Необходимые условия экстремума

, ,

в этом случае принимают следующий вид:

Решая полученную систему уравнений относительно , , , затем построим и само уравнение .

Пример 1. Темпы роста производительности труда по годам в промышленности республики приведены в таблице, данной ниже. Предполагая, что , найти и .

Составим систему уравнений для определения a и b. Для этого сначала найдем следующие величины:

, , , .

Таким образом, имеем следующую систему уравнений относительно a и b:

,

решая которую, получим:

; .

Итак, уравнение искомой прямой:

.

Перечень вариантов
для самостоятельной работы по теме
«Метод наименьших квадратов»

По заданным парам чисел методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии вида

;

здесь , , , , , , , ; значения приведены ниже (для каждого из 28 вариантов).

Для вычислений рекомендуется использовать калькулятор. Получаемые числа и округлять до второго знака после запятой.

Номер варианта

Ответы:

Вариант			Вариант
	2.11	-4.64		2.11	0.79
	2.07	-4.14		2.36	-0.29
	2.00	-4.00		2.25	-0.79
	2.21	-5.14		2.11	0.64
	2.11	-4.64		2.11	1.21
	1.75	-2.36		2.11	-0.21
	1.79	-3.14		2.25	-0.50
	2.75	3.21		3.14	-0.71
	2.86	1.43		3.00	0.57
	3.00	0.57		3.32	-1.07
	2.93	1.71		2.82	1.93
	3.04	0.93		2.93	0.14
	3.14	0.86		2.79	2.14
	2.86	2.00		2.79	0.86

Список литературы

1) Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. М.: Айрисс-пресс, 2004; 288 стр.

2) В.С. Шипачёв. Задачи по высшей математике.
М.: Высшая школа, 1997; 304 стр.

3) Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1. –М.: Наука, 1970; 573 стр.

4) Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1972; 416 стр.

5) Т.П. Темченко, Л.М. Ожерелкова. Функции нескольких переменных. (Учебно-методическое пособие); М.: Издательство МГАТХТ им. М.В. Ломоносова, 1988; 41 стр.

Издание учебное