Замечание. Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в замкнутой ограниченной области , надо найти ее значения в стационарных точках внутри

Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в замкнутой ограниченной области , надо найти ее значения в стационарных точках внутри , затем найти наибольшее (наименьшее) значение на границе и выбрать среди полученных чисел максимальное (минимальное).

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее

значение функции

в замкнутой области , ограниченной линиями: , , . Область – это треугольник (рис. 4).

а) Найдем стационарные точки внутри :

.

Так как внутри , , то:

Þ – стационарная точка и

.

б) Найдем наибольшее (наименьшее) значение на сторонах вышеуказанного треугольника.

На сторонах, на которых или , или , очевидно, . На 3-ей стороне, задаваемой уравнением , функция принимает вид:

.

При этом .

Найдем максимальное и минимальное значение при . Имеем:

Þ или .

Но – граничная точка для отрезка ; только – внутренняя точка для отрезка , и в ней – минимум функции , . В граничных точках отрезка . Итак, на границе : , .

Таким образом, в замкнутой области : (достигается внутри в точке ) и (достигается на границе в точке ).