Если , то вопрос о наличии экстремума в точке остается открытым и нужны другие методы исследования

Пример 1. Рассмотрим функцию z=1+6x-x²-xy-y²

и найдем ее экстремумы.

Найдем все частные производные вида: , , , , :

Найдем стационарные точки , для чего решим следующую систему уравнений:

, т.е. .

Находим решение этой системы: , , т.е. – стационарная точка. Найдем :

.

Следовательно, в точке есть экстремум. Т.к. , то – точка максимума и .

Пример 2. Рассмотрим функцию z=x²+y²+x+y+1

и найдем ее экстремумы.

Найдем все частные производные до 2-го порядка включительно: , , , .

Находим стационарные точки P₀:

стационарная точка.

Þ Þ –

Найдем :

.

Следовательно, в точке есть экстремум. Т.к. , то – точка минимум и .

Пример 3. Рассмотрим функцию

и найдем ее экстремумы.

Найдем все частные производные до 2-го порядка включительно: , ,

, , .

Затем находим все стационарные точки :

Þ ; , .

Заметим, что для решения вышеуказанной системы уравнений следует сложить оба уравнения, получив соотношение вида , т.е. . Затем надо подставить в первое уравнение = , получив уравнение вида и решив его, найти абсциссы , , точек , , , а затем и соответствующие ординаты этих точек , , .

Найдем :

; ; .

При этом , , поэтому , – точки минимума и .

Так как , то необходимо дополнительное исследование точки на наличие в ней экстремума. Заметим, что , а в любой окрестности есть точки, в которых и в которых (например, если и : , а если и : ). Следовательно, в точке нет экстремума.