Производные сложных функций двух переменных

1⁰. Пусть , , – дифференцируемые функции. Тогда частные производные сложной функции вычисляются так:

(1)

При этом в правые части формул (1) в выражения для z’_x, z’_y следует подставить x=x(u,v), y=y(u,v). В результате z’_x, z’_y будут зависеть только от u и v.

Пример 1. Пусть , , , т.е.

.

Найдем . Для этого сначала найдем следующие шесть частных производных:

Тогда, используя формулу (1) и выражая и через и , получим:

;

.

2⁰. Пусть , , – дифференцируемые функции. Тогда производная сложной функции z(u)=z(x(u),y(u)) вычисляется по формуле:

(2)

При этом в правую часть формулы (2) в полученные выражения для z’_x, z’_y следует подставить x=x(u), y=y(v). В результате dz/du будет зависеть только от u.

Пример 2. Пусть , , , т.е.

.

Найдем . Имеем:

, , , .

Используя формулу (2) и выражая и через и , получим:

3⁰. Пусть , – дифференцируемые функции. Тогда производная сложной функции вычисляется по формуле:

(3)

При этом в правую часть формулы (3) в полученные выражения для z’_x, z’_y следует подставить y=y(x). В результате z/dx будет зависеть только от x.

Пример 3. Пусть , , т.е. .

Найдем . Имеем:

, , .

Используя формулу (3) и выражая через , получим:

.