Замечания. 1)Частные производные и называют смешанными частными производными

1) Частные производные и называют смешанными частными производными.

Если определена в некоторой области и ее частные производные , , , определены и непрерывны в , то (теорема Шварца).

2) Аналогично определяется функция переменных и ее частные производные или .

Пример 5 (Вычисление , и ).

В процессе нахождения частной производной полагаем, что вторая переменная – это константа. В этом случае нахождение сводится к нахождению обычной производной от функции одной переменной с соблюдением всех правил дифференцирования. Аналогичное верно и для .

а) Найдем , и для функции .

Имеем:

;

;

.

б) Найдем , и для функции .

Имеем:

;

;

.

в) Найдем , для функции .

Имеем:

Пример 6 (Нахождение частных производных 2-го

порядка).

Найдем , , , для функции .

Имеем:

, ,

, ,

.