Определения. 1)Область определения функции – это множество всех пар , для которых она определена, т.е

1) Область определения функции – это множество всех пар , для которых она определена, т.е. множество ;

2) Множество значений функции – это множество

;

3) График функции – это множество точек , таких, что , а (это поверхность в ).

Пример 1 (Определение множеств и построение графика функции).

Рассмотрим функцию .

Область определения этой функции:

–

круг радиуса с центром в точке . Множество значений функции: – отрезок.

График функции – это верхняя часть сферы радиуса с центром в точке (рис. 1).

Пример 2 (Определение области и изображение ее

на плоскости).

Рассмотрим функцию .

Найдем ее область определения . Т.к. функция «логарифм» определена только для положительных значений аргумента, то

Изобразим на плоскости:

Пример 3 (Определение области и изображение ее

на плоскости).

Рассмотрим функцию .

Найдем ее область определения . Т.к. функция «арксинус» определена только для значений аргумента, принадлежащих отрезку , то . Т.к. функция «квадратный корень» определена для неотрицательных значений подкоренного выражения, то . Имеем систему неравенств, задающую область :

Þ

На рис. 3 изображена область , представляющая собой две части кольца, ограниченного окружностями и , расположенных в I-ой и III-ей четвертях координатной плоскости.

* * * * *

Значение функции в некоторой конкретной точке обозначатся:

или .

Пример 4 (Нахождение значения функции в точке).

Для функции и точек:

а) ; б) ; в) найти значение .

Подставим в выражение для вместо и заданные значения и :

а) ;

б) ;

в) .

Определение. Частной производной (читаем: «зэт штрих по икс») функции по переменной называется следующий предел:

.

Аналогично определяется частная производная (читаем: «зэт штрих по игрек»):

.

Для частных производных, наряду с , , используются также следующие обозначения:

.

(или ).

Запись «» читаем «дэ эф по дэ икс».

Значение частной производной в некоторой фиксированной точке обозначаем так:

или , или , или .

Определение. Полный дифференциал функции в точке – это выражение вида:

,

где , d y ≡Δy - приращения аргументов и . (Таким образом, зависит от заданной точки и заданных приращений , аргументов и ).

Определение. Частные производные 2-го порядка от функции – это частные производные по или по от функций и , т.е.:

, ; ,

или, в других обозначениях:

, , ,

.