Лабораторна робота 6

СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ РІВНЯННЯ РЕГРЕСІЇ

Мета роботи: Навчитися перевіряти можливість використання розробленого рівняння регресії для прогнозування значень у в залежності від вхідної величини х.

Після того як коефіцієнти в рівнянні регресії знайдені, необхідно провести статистичний аналіз цього рівняння. Цей аналіз включає в себе перевірку значимості всіх коефіцієнтів регресії в порівнянні з помилкою відтворення та оцінку адекватності рівняння. Таке дослідження називається регресійним аналізом.

Алгоритм розрахунку

ПеревіркаРозрахунок Перевірка

є паралельні однорідності дисперсії значимості

досліди* дисперсій відтворення коефіцієнтів

Розрахунок

коефіцієнтів Перевірка

немає паралельних рівняння адекватності

дослідів регресії рівняння

*Примітка. Кількість паралельних спостережень (m) на кожному рівні (n) однакова.

Пункти 1-3: перевірка однорідності дисперсій, розрахунок дисперсії відтворення та коефіцієнтів лінійного рівняння регресії проводиться аналогічно розглянутим у лабораторних роботах № 2 та № 4.

1. Оцінка значимості коефіцієнтів виконується за критерієм Стьюдента:

де b_u – коефіцієнти рівняння регресії;

– середньоквадратичне відхилення u- го коефіцієнта.

У випадку лінійного рівняння регресії від одного фактора середньоквадратичні відхилення коефіцієнтів розраховуються за формулами:

;

.

Якщо t_u>t_t, то коефіцієнт значно відрізняється від нуля. Табличне значення критерію Стьюдента (t_t) вибирається в залежності від вибраного рівня довірчої ймовірності р або рівня значимості α () та числа ступенів свободи f=f_відтв = n·(m-1).

2. Адекватність рівняння перевіряється за критерієм Фішера:

.

де – дисперсія адекватності,

– дисперсія відтворення.

При однаковій кількості паралельних дослідів m дисперсія адекватності розраховується як:

,

де l – кількість значимих коефіцієнтів у рівнянні регресії.

Якщо F_р<F_m, то рівняння регресії адекватне експерименту. Табличне значення F_m визначають у залежності від прийнятого рівня значимості ( і числа ступенів свободи f₁=n-l і f₂=n·(m-1).

Примітка. При неадекватності рівняння регресії (у разі якщо дисперсії виявилися неоднорідні, і в якості дисперсії відтворення була прийнята максимальна дисперсія на рівнях), спробуйте виключити з розрахунку сумнівні результати спостережень та повторіть розрахунок.

3*. При відсутності паралельних дослідів і дисперсії відтворення якість апроксимації можна оцінити, порівнявши залишкову дисперсію S²_зал з дисперсією відносно середнього значення вихідної величини S²_у.

.

У цьому випадку критерій Фішера показує у скільки разів розсіяння відносно отриманого рівняння регресії зменшується в порівнянні з розсіянням відносно середнього. Чим більше розрахункове значення F_р перевищує табличне F_m, тим ефективнішим є рівняння регресії. Табличне значення F_m визначають у залежності від прийнятого рівня значимості ( і числа ступенів свободи f₁=n-1 і f₂=n-l.

Для розрахунку коефіцієнтів рівняння регресії b_u та розрахункових значень _і можна скористатися вбудованими функціями MathCAD аналогічно лабораторній роботі № 4.

Для пошуку коефіцієнтів рівняння регресії:

де N – ступінь полінома (для лінійного рівняння регресії N=1). При N>1 коефіцієнти b_u відповідають коефіцієнтам більш складних нелінійних рівнянь регресії.

Для знаходження розрахункових значень:

F(s):= interp(b, x, y, s);

Yr_i: =f(x_i).

Увага – х та у – вектори даних.

Для пошуку критеріїв Стьюдента та Фішера, відповідно:

при наявності паралельних спостережень

при відсутності паралельних спостережень

Завдання. Була проведена серія експериментів за дослідженням впливу вогнетривкої глини в масі на міцність керамічного матеріалу (табл. 14). Проаналізуйте експериментальні дані та дайте відповіді на питання:

– Чи є сумнівні результати в експерименті? Чому Ви так вважаєте?

– Який вигляд має лінійна математична модель? Чи можна її використовувати?

– Надайте графічне зображення рішення задачі.

– Сформулюйте висновок щодо використання запропонованої моделі.

Таблиця 14 – Міцність керамічного матеріалу (у) в залежності від вмісту в масі вогнетривкої глини (х)

Варіант	х, мас.%	у, МПа	Вар	х, мас.%	у, МПа
1	2	3	4	5	6

Продовження табл. 14