Метод множинної кореляції

Мета роботи: навчитися аналізувати експериментальні дані для встановлення наявності або відсутності лінійної залежності між вихідним параметром (у) та декількома факторами (х_j).

Якщо необхідно встановити кореляційний зв’язок між вихідним параметром (y) і декількома факторами (x_i), то для цього використовують рівняння множинної регресії:

.

Маємо за результатами експериментів деяку матрицю спостережень подану у вигляді наступної табл. 12.

Таблиця 12 – Експериментальна вибірка

Номер досліду	x1	x2	x3	…	xk	y
1 2 3 . . . n	x11 x21 x31 . . . xn1	x12 x22 x32 . . . xn2	x13 x23 x33 . . . xn3	… … … . . . …	x1k x2k X3k . . . xnk	y1 y2 y3 . . . yn

Алгоритм розрахунку:

1. Знаходимо середні значення вхідних та вихідних змінних:

,

де і..n – рядки;

j..k – стовпчики.

2. Знаходимо середньоквадратичні відхилення:

.

3. Нормуємо змінні:

.

4. Записуємо таблицю з нормованими значеннями мінливих:

Номер досліду				…
1				…
2				…
3				…
…	…	…	…	…	…	…
N				…

В новому масштабі маємо:

і

5. Рівняння регресії з нормованими змінними приймає наступний вигляд:

.

6. Від рівняння регресії з нормованими змінними можна перейти до рівняння зі змінними в натуральному масштабі за формулами:

7. Знаходження розрахункових значень уr_i:

.

8. Коефіцієнт множинної кореляції (R):

.

Слід зауважити, що нормування змінних не впливає на значення коефіцієнтів кореляції:

;

l, m=1,2,.....,k l ≠ m.

Тому можна не нормувати змінні та одразу переходити до визначення коефіцієнтів у рівнянні регресії.

Варіанти розрахунків:

Перший

Для визначення коефіцієнтів a_j в рівнянні регресії в MathCad є спеціальний обчислювальний блок, що має наступний вигляд:

Given

Система рівнянь для знаходження коефіцієнтів a_j

Find (а₁, а₂, …а_k) – вбудована функція для рішення системи щодо змінних а₁, а₂, …а_k.

Цей блок використовує для пошуку рішення ітераційні методи, тому потрібно задати початкові значення для всіх а₁, а₂, …а_k (наприклад а₁:=1 і т.ін.). Зробити це необхідно до ключового слова Given.

Після знаходження коефіцієнтів a_j визначення коефіцієнтів у натуральному масштабі b_j та розрахункових значень уr_i відбувається відповідно до алгоритму розрахунку.

Другий

Пошук коефіцієнтів рівняння регресії b_j відбувається за допомогою вбудованих функцій regress:

b:=regress(x,y,N)

та розрахункових значень уr_i за допомогоюфункції interp:

.

Увага: х – матриця даних, яка містить стовпчики з заданими факторами (наприклад склад кераміки з 3 оксидів – матриця з 3 стовпчиками).

у – вектор даних;

s1, s2 та s3 – службові змінні для запису функції, вказують скільки факторів є в функції (в нашому прикладі 3);

N – степінь полінома (для лінійного рівняння регресії N =1).

Третій

Пошук коефіцієнтів рівняння регресії b_j та розрахункових значень уr_i відбувається за допомогою матричних обчислень:

;

yr:=x·b.

Слід зауважити, що значення коефіцієнтів рівняння регресії b_j у залежності від виду їх розрахунку будуть змінюватися, але характер впливу факторів у порівнянні між собою на значення уr_i залишається тим самим. Отримані значення уr_i не залежать від обраного способу розрахунку.

Завдання: Провести аналіз експериментальних даних (табл. 13), дати відповідь на питання:

– Чи існує лінійна залежність між складом силікатних стекол (склокераміки) та їх властивостями? Обґрунтуйте відповідь.

– Застосуйте 3 способи розрахунку. Який вигляд мають математичні моделі?

– Охарактеризуйте вплив кожного фактора.

– Сформулюйте висновок щодо використання розроблених математичних моделей.

Таблиця 13 – Експериментальні дані до завдання

Варіант	Склад скла (склокераміки), мас.%	Властивість
1	2	3
	SiO2	B2O3	BaO	α·107, град-1
			103,4
			105,8
			96,7
			100,6
			94,2

Продовження табл. 13

1	2	3
	SiO2	B2O3	BaO	d, г/см3
			3,12
			3,18
			3,03
			3,10
			3,30
	SiO2	MgO	BaO	α·107, град-1
	SiO2	MgO	BaO	d, г/см3
			2,93
			3,02
			3,14
			2,89
			3,28
	SiO2	ZnO	BaO	α·107, град-1
			74,04
			46,59
			67,02
			82,9
			52,4
	SiO2	ZnO	BaO	d, г/см3
			2,88
			3,24
			3,32
			2,96
			3,02
	Скло	Глинозем	Каолін	α·107, град-1
			41,0
			32,8
			46,1
			48,5
			49,5
	Скло	Глинозем	Каолін	d, г/см3
			3,33
			2,26
			2,21
			1,80
			1,65
	Скло	Глинозем	Каолін	П, %
			3,2
			4,5
			16,5
			0,0
			9,6

Продовження табл. 13

1	2	3
	Скло	Глинозем	Каолін	lgρv, Ом·см
			12,0
			11,3
			9,4
			9,2
			9,8
	SiO2	CaO	Na2O	α·107, град-1
	SiO2	CaO	Na2O	d, г/см3
			2,18
			2,13
			2,22
			2,35
			2,51
	SiO2	MgO	Al2O3	α·107, град-1
	SiO2	MgO	Al2O3	d, г/см3
			3,04
			3,13
			3,25
			3,30
			3,03
	SiO2	ZnO	BaO	П, %
			0,0
			2,0
			2,8
			3,2
			1,6
	SiO2	В2O3	BaO	В, %
			0,0
			14,2
			13,4
			15,1
			16,0
	Скло	Глинозем	Каолін	σзгин, Мпа
			100,0
			93,4
			98,1
			102,3
			101,0

Продовження табл. 13

1	2	3
	SiO2	Al2O3	Li2O	σзгин, Мпа
			150,8
			141,1
			160,3
			170,2
			184,0
	SiO2	Al2O3	BaO	α·107, град-1
			34,5
			37,1
			33,2
			30,0
			25,6
	SiO2	Al2O3	BaO	lgρv, Ом·см
			10,2
			9,1
			9,1
			10,6
			8,3
	SiO2	Al2O3	Li2O	α·107, град-1
			43,2
			5,3
			10,4
			9,8
			30,5
	SiO2	ZnO	BaO	П, %
			3,8
			2,0
			1,8
			0,2
			1,6
	SiO2	В2O3	BaO	В, %
			10,0
			4,2
			1,4
			5,1
			16,0
	Скло	Глинозем	Каолін	σзгин, Мпа
			90,0
			83,4
			78,6
			100,3
			111,8
	SiO2	Al2O3	Li2O	α·107, град-1
			13,2
			5,3
			10,4
			9,8
			8,5

Продовження табл. 13