Нелінійна регресія. Оцінка міцності нелінійного зв’язку

Мета роботи: навчитися аналізувати експериментальні дані для встановлення наявності або відсутності кореляційної залежності між вхідною та вихідною величинами. Навчитися перевіряти можливість використання розробленого нелінійного рівняння регресії для прогнозування значень у в залежності від вхідної величини х.

Якщо рівняння регресії являє собою поліном деякого ступеня, то при застосуванні методу найменших квадратів коефіцієнти цього полінома знаходять вирішенням системи лінійних рівнянь. Наприклад, необхідно знайти коефіцієнти квадратичної функції – параболи другого порядку:

.

Система нормальних рівнянь для розрахунку коефіцієнтів має вигляд:

;

;

.

Аналогічним чином будуть визначатися коефіцієнти параболи будь якого порядку. Для вирішення такої системи зазвичай використовують обчислювальні машини.

Якщо вважати, що рівняння регресії знайдено з достатньою точністю, то залишкова дисперсія обумовлена тільки наявністю дисперсії відтворення, тобто S²_зал ≈ S²_відтв.

Чим менше доля S²_зал у загальній дисперсії, тим міцніший зв’язок поміж y і x. Тому силу зв’язку можна характеризувати величиною:

Зв’язок тим сильніший, чим менше значення . Величина

називається кореляційним відношенням і характеризує міцність зв’язку поміж x і y, це відношення може приймати значення . Якщо , то існує функціональна залежність між змінними x і y. Якщо та x і y підкоряються нормальному закону розподілу, то поміж вказаними змінними відсутній кореляційний зв’язок.

Кореляційне відношення, також як і коефіцієнт парної кореляції в лінійній регресії, характеризує міцність зв’язку поміж випадковими величинами. Взагалі аналіз сили зв’язку випадкових величин за величиною називають кореляційним аналізом.

При лінійній регресії кореляційне відношення дорівнює коефіцієнту парної кореляції:

Завдання. Провели дослідження з встановлення ступеня зношення карбідкремнієвих нагрівачів в залежності від температури їх експлуатації (табл. 15). Ступінь зношення оцінювали за приростом маси нагрівачів, з огляду на реакцію, що перебігає під час їх експлуатації:

SiC+2O₂→SiO₂+CO₂.

Проаналізуйте експериментальні дані і дайте відповідь на запитання:

– Чи є доцільним використання лінійної математичної моделі для опису вказаної залежності? Обґрунтуйте відповідь.

– Наведіть рівняння, яке ви пропонуєте як рішення для даної задачі. Обґрунтуйте свій вибір.

– Проілюструйте відповіді графічним зображенням.

– Сформулюйте висновок щодо використання розробленої математичної моделі.

Таблиця 15 – Приріст маси карбідкремнієвих нагрівачів

№ варіанта	Час досліду, год
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
	0,52	0,67	1,11	1,30	1,35	1,40	1,41	1,34	1,27	1,09	0,9	0,85
	0,14	0,21	0,41	0,57	0,65	0,67	0,65	0,56	0,58	0,50	0,46	0,43
	0,32	0,57	0,77	0,95	1,10	1,13	1,30	1,23	1,15	0,84	0,79	0,75
	0,69	1,12	1,34	1,42	1,56	1,70	1,65	1,73	1,5	1,45	1,3	1,31
	0,84	1,32	1,32	1,65	1,85	1,93	2,03	1,85	1,69	1,35	1,29	1,26
	0,99	1,22	1,34	1,56	1,59	1,65	1,75	1,70	1,73	1,55	1,45	1,4
	0,23	0,32	0,35	0,52	0,59	0,62	0,72	0,37	0,33	0,15	0,13	0,10
	0,12	0,16	0,26	0,38	0,50	0,62	0,7	0,72	0,92	0,63	0,52	0,41
	1,31	1,47	1,52	1,69	1,72	1,79	1,83	1,58	1,48	1,37	1,29	1,15
	1,42	1,44	1,49	1,56	1,65	1,73	1,82	1,99	1,75	1,65	1,5	1,45
	1,12	1,23	1,34	1,43	1,56	1,52	1,67	1,54	1,48	1,35	1,28	1,15
	0,45	0,59	0,62	0,71	0,81	0,85	0,91	0,83	0,72	0,50	0,45	0,35

Продовження табл. 15