Однофакторний дисперсійний аналіз

Мета роботи: навчитися встановлювати наявність або відсутність впливу фактору на випадкову величину.

Суть дисперсійного аналізу полягає у виділенні та оцінці окремих факторів, які в найбільшій мірі викликають зміну дослідної випадкової величини.

Алгоритм розрахунку:

1. Знаходимо середнє значення на кожному n рівні:

,

де і..n – рядки (рівні фактора);

j..m – стовпчики (паралельні досліди).

2. Знаходимо дисперсії на кожному рівні:

.

3. Оцінюємо однорідність дисперсії за критерієм Кохрена:

.

Якщо G_p менше табличного значення критерію Кохрена G_t, то дисперсії на кожному рівні фактора вважаються однорідними.

Табличне значення критерію Кохрена визначається в залежності від числа дисперсій (n), які складаються, від числа ступенів свободи f, з якими визначена кожна дисперсія (f=m-1), і від заданого рівня значимості () або довірчої ймовірності () (додаток 2).

4. Якщо дисперсії однорідні, то дисперсія відтворення дорівнює:

.

Якщо дисперсії неоднорідні, то дисперсія відтворення дорівнює:

.

5. Знаходимо середнє значення фактора за усім об’ємом вибірки:

.

6. Знаходимо дисперсію фактора А:

.

7. Оцінюємо значимість впливу фактора А за критерієм Фішера:

.

Табличне значення критерію Фішера (F_т) визначається в залежності від числа ступенів свободи для дисперсій f₁=n-1 і f₂=n(m-1) (додаток 3).

Вплив фактора А вважається значимим, якщо .

В MathCad є вбудовані функції max(Z), min(Z) для знаходження, відповідно, максимального та мінімального значень вибірки Z. Ними можна скористатися при пошуку максимального значення дисперсії на рівнях – max(S).

Завдання 1: При дослідженні залежності температури початку розм’якшення силікатних стекол від вмісту в їх складі SiO₂ одержані дані, які наведені в табл. 4. Для кожного скла з постійним вмістом SiO₂ температура початку розм’якшення визначалась за трьома паралельними дослідами. Виконати дисперсійний аналіз експериментальних даних та дати відповідь на запитання: Чи значимо впливає вміст SiO₂ в складі стекол на їх температуру початку розм’якшення?

Завдання 2: В результаті дослідження залежності міцності на стиск глиняної цегли від вмісту шамоту в керамічній масі одержані експериментальні дані, які наведені в табл. 5. Межа міцності цегли на стиск визначалась для кожного складу за трьома паралельними дослідами. Виконати дисперсійний аналіз експериментальних даних та дати відповідь на запитання: Чи значимо впливає вміст шамоту в керамічній масі на міцність на стиск глиняної цегли?

Таблиця 4 – Експериментальні значення температури початку розм’якшення силікатних стекол (до завдання 1)

№ варіанта	Номер досліду	Вміст SiO2, %
87,0	82,0	77,0	72,0	67,0
1	2	3	4	5	6	7

Продовження табл. 4

1	2	3	4	5	6	7

Таблиця 5 – Експериментальні значення міцності на стиск глиняної цегли (до завдання 2)

№ варіанта	Номер досліду	Вміст шамоту, %
8,0	11,0	14,0	17,0	20,0
1	2	3	4	5	6	7

Продовження табл. 5