Числові характеристики випадкових величин

Мета роботи: навчитися розраховувати числові характеристики випадкових величин та аналізувати отримані результати.

При хіміко-технологічних дослідженнях результати експериментів з погляду математичної статистики належать до випадкових подій, які характеризуються своїми числовими значеннями – випадковими величинами.

На практиці при експериментальному вивченні різних явищ дослідники не мають у своєму розпорядженні істинних значень характеристик випадкових величин. Тому їм необхідно оцінювати ці характеристики на основі дослідних даних.

Весь набір ймовірних значень випадкової величини називають генеральною сукупністю. Частина генеральної сукупності, яку одержують експериментально, називають вибіркою.

Тому через обмеження експериментальних даних характеристики випадкових величин, які одержують на їх основі, називають вибірковими оцінками.

Алгоритм розрахунку:

1. Середнє значення змінної:

,

де y₁, y₂,..., y_n – вибірка значень мінливої y обсягом N.

2. Дисперсія випадкової величини:

,

де f = N-1 – число ступенів свободи.

3. Середньоквадратичне відхилення:

.

4. Довірчий інтервал:

,

де t_a – критерій Ст'юдента знаходять з таблиць відповідно до значень f = N-1 і заданого рівня значимості (a) або довірчої ймовірності р=1-a (додаток 1).

5. Якщо результат одного з паралельних спостережень, наприклад (N+1), викликає сумнів, тобто значно відрізняється від інших, він повинен бути перевірений і в разі необхідності відкинутий.

Результат (N+1)-го досліду відкидається, якщо .

Приклад виконання лабораторної роботи в пакеті MathСad:

Висновки:

1. Середнє значення міцності склокераміки становить 126.2 МПа

2. Дослід відтворюється з помилкою 2.58 МПа

3. Сумнівним вважається значення міцності склокераміки 130 МПа, але за результатами перевірки можна зробити висновок, що його не слід виключати з розрахунку

Для реалізації лабораторної роботи № 1 необхідно використовувати наступні оператори та системні мінливі (табл. 2).

Таблиця 2 – Деякі оператори та системні змінні

Операція	Позначення	Призначення
Присвоєння	Х:=	Присвоєння Х будь-якого вираження або числа
Визначення першого елемента векторів або матриць	ORIGIN	Визначає індекс першого елемента векторів та матриць
Завдання інтервалу	m..n	Завдання інтервалу мінливої
Сума ряду		Обчислення суми Х для i=k,k+1,…,n де Х будь-яке вираження
Нижній індекс	Хn	Індексована мінлива
Модуль комплексного числа	|X|	Обчислення модуля комплексного числа X

Завдання. При визначенні властивостей склокераміки певного складу отримані наступні значення (табл. 3). Встановити числові характеристики випадкових величин та дати відповідь на наступні питання:

1. Яке значення властивості має склокераміка?

2. З якою помилкою відтворюється дослід?

3. Які значення властивості будуть вважатися сумнівними?

Таблиця 3 – Фізико-хімічні властивості склокераміки

Варіант	Властивість	Паралельні спостереження
1	2	3	4	5	6	7
	Щільність, г/см3	2,48	2,48	2,50	2,52	2,56
	ТКЛР, α·107, град-1	34,5	30,3	42,0	37,6	30,8
	Поруватість, %
	Водопоглинення, %
	В'язкість, Па·с	2,34	1,97	2,55	2,89	2,00
	ТНР,°С
	Електроопір, Ом·см	13,4	12,6	12,5	11,8	12,5
	Межа міцності на стиск, Мпа	45,8	64,3	40,1	57,9	50,0
	Межа міцності на згин, Мпа	23,5	34,3	24,3	35,2	28,9
	Стираність, г/см2	0,157	0,160	0,150	0,143	0,147
	Щільність, г/см3	3,24	3,02	2,98	3,33	3,45
	ТКЛР, α·107, град-1	112,8	96,7	102,3	109,7	98,1
	Поруватість, %	34,5	27,8	37,8	32,1	29,0
	Водопоглинення, %	15,4	13,9	13,2	16,7	14,4
	В'язкість, Па·с	1,29	1,58	1,76	2,06	1,99
	ТНР,°С
	Електроопір, Ом·см	8,0	7,9	8,7	8,4	8,9
	Межа міцності на стиск, Мпа	113,4	100,0	125,7	115,2	120,0
	Межа міцності на згин, Мпа	54,3	67,8	42,2	55,8	59,2
	Стираність, г/см2	0,060	0,111	0,116	0,056	0,073
	Щільність, г/см3	3,12	3,16	2,97	2,99	3,00
	ТКЛР, α·107, град-1	47,7	43,5	39,0	48,4	42,2

Продовження табл. 3