Лабораторна робота 8

ФАКТОРНЕ ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ. ПОВНИЙ ТА ДРОБНИЙ ФАКТОРНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ (ПФЕ та ДФЕ)

Мета роботи: навчитися планувати експеримент, розробляти математичну модель за результатами аналізу отриманих експериментальних даних.

Вибір плану експерименту визначається задачами дослідження та особливостями об’єкта дослідження. Планування експерименту дозволяє одночасно змінювати всі фактори та отримувати кількісні оцінки основних ефектів та ефектів взаємодії факторів.

Загальна кількість дослідів у плані ПФЕ дорівнює

де n – число рівнів факторів;

q – число факторів.

При плануванні експерименту для одержання рівняння регресії першого порядку достатньо, щоб число рівнів, на яких змінюються фактори при проведенні експериментів, дорівнювало двом, тобто

Плани ПФЕ зручно записувати у вигляді таблиць. Кожний рядок у таблиці являє собою умови проведення дослідів, тобто показує на яких рівнях необхідно фіксувати значення факторів при проведенні експериментів. Для оцінки коефіцієнтів у рівнянні регресії план експерименту необхідно розширити до так званої матриці планування добавленням “фіктивної змінної” (одиничного стовпчика) та стовпчиків добутків факторів.

ПФЕ є ефективним засобом одержання математичних моделей у випадку, коли число факторів n 4. Проте при більшій кількості факторів ПФЕ потребує значного збільшення кількості дослідів. Значно скоротити об’єм експериментальної роботи і при цьому одержати достатньо точні оцінки коефіцієнтів регресії можна при плануванні та проведенні так званого, дробного факторного експерименту (ДФЕ). За основу плану ДФЕ приймають матрицю планування ПФЕ.

Розглянемо як приклад побудову плану ДФЕ для трифакторного експерименту. За основу беремо матрицю планування ПФЕ 2² (табл. 16).

Таблиця 16 – Матриця планування ПФЕ 2²

Номер досліду
	+ + + +	+ + - -	+ - - +	+ - + -

Математична модель ПФЕ 2² матиме наступний вигляд:

.

При побудові плану ДФЕ 2^3-1 для вибору рівнів, на яких буде змінюватись фактор x₃ при проведенні експериментів,використовується стовпчик парних взаємодій у матриці планування ПФЕ 2². В результаті одержуємо план, який подано в табл. 17.

Таблиця 17 – План ДФЕ 2^3-1

Номер досліду
	+ + - -	+ - - +	+ - + -

Фіктивну змінну х₀, як правило, не пишуть, і математична модель за ДФЕ 2^3-1 матиме наступний вигляд:

.

Алгоритм розрахунку

Статистичний аналіз рівнянь регресії за ПФЕ або ДФЕ проводиться аналогічно викладеному вище в лабораторній роботі № 6.

Єдиною відмінністю є деяке спрощення розрахунків при визначенні коефіцієнтів рівняння регресії завдяки переведенню значень факторів у безрозмірний масштаб ±1.

1. Коефіцієнти в рівнянні регресії:

.

2. Дисперсія коефіцієнтів рівняння регресії однакова для всіх b_j (b_uj):

.

Завдання 1: В результаті попередніх експериментів встановлено, що міцність ситалів (σ) залежить від часу (τ) та температури (t) першого та другого ступенів термообробки. Межі визначення факторів надані в табл. 18.

– Провести вибір рівнів та інтервалів варіювання факторів.

– Побудувати дробний експеримент ДФЕ 2^n-1 у кодованих та натуральних значеннях змінних для отримання математичної моделі: σ = f (τ₁,t₁,τ₂,t₂).

– Обґрунтувати вибір генеруючого співвідношення та перевірити систему змішування коефіцієнтів регресії.

Таблиця 18 – Експериментальні дані

Варіант	t1, °C	τ1, год	t2, °C	τ2, год
1	2	3	4	5
	500 – 590	0,5 – 1,5	800 – 900	0,6 – 0,9
	510 – 580	0,6 – 1,6	810 – 920	0,1 – 0,8
	520 – 640	0,5 – 2,0	850 – 1000	0,6 – 1,5
	515 – 600	0,3 – 0,8	700 – 780	0,6 – 1,1
	550 – 620	0,3 – 0,9	720 – 790	0,2 – 1,2

Продовження табл. 18

1	2	3	4	5
	540 – 640	0,2 – 0,7	750 – 900	0,6 – 1,4
	530 – 610	0,6 – 0,8	850 – 950	1,0 – 3,0
	600 – 640	1,0 – 2,0	1000 – 1100	1,0 – 2,0
	540 – 600	1,1 – 2,3	990 – 1050	0,9 – 2,1
	550 – 610	0,5 – 0,8	1000 – 1100	0,8 – 3,1
	500 – 580	0,5 – 0,7	950 – 1050	0,1 – 0,5
	450 – 500	0,2 – 0,9	650 – 700	0,1 – 0,6
	400 – 500	0,2 – 1,0	700 – 760	1,0 – 3,0
	420 – 520	0,3 – 0,8	720 – 900	2,0 – 3,0
	500 – 600	1,0 – 2,0	730 – 800	3,0 – 4,0
	530 – 700	0,5 – 1,0	850 – 950	2,5 – 3,5
	560 – 690	0,5 – 3,0	820 – 920	2,0 – 4,0
	700 – 780	0,5 – 2,0	1000 – 1100	2,5 – 4,5
	650 – 750	0,9 – 3,1	950 – 1060	2,0 – 3,0
	600 – 700	0,8 – 3,0	960 – 1040	1,5 – 3,0
	560 – 700	0,5 – 1,9	900 – 1000	0,1 – 0,6
	550 – 670	0,3 – 0,8	840 – 900	0,6 – 1,1
	430 – 530	1,0 – 2,0	760 – 840	2,5 – 4,5
	400 – 480	0,5 – 2,0	720 – 800	1,0 – 3,0
	620 – 660	0,5 – 0,8	890 – 940	0,1 – 0,5
	650 – 750	0,6 – 0,8	900 – 950	0,6 – 0,9
	620 – 700	0,6 – 1,6	910 – 970	0,6 – 1,4
	590 – 550	0,9 – 3,1	870 – 930	2,5 – 3,5
	450 – 500	0,2 – 0,7	720 – 820	0,8 – 3,1
	540 – 600	0,2 – 1,0	780 – 880	0,9 – 2,1

Завдання 2. Для дослідження залежності поруватості склокерамічного матеріалу (у) від температури випалу (х₁) часу випалу (х₂) та вмісту склозв’язки (х₃) реалізований повний факторний експеримент 2³. План експерименту наведений в табл. 19, а результати паралельних дослідів – в табл. 20. Виконати аналіз експериментальних даних та дати відповідь на наступні питання:

– Чи є сумнівні результати експериментів? Обґрунтуйте відповідь.

– Який вигляд має математична модель?

– Які фактори чинять значимий вплив на поруватість? Охарактеризуйте ступінь впливу кожного фактора.

– Сформулюйте висновок щодо розробленої математичної моделі.

Таблиця 19 – План повного факторного експерименту 2³

Номер досліду	Значення незалежних змінних
Х1	Х2	Х3
	+	+	+
	-	-	+
	+	-	+
	-	+	+
	+	+	-
	-	-	-
	+	-	-
	-	+	-

Таблиця 20 – Експериментальні дані

Варіант	Паралельні досліди
1	2	3	4	5	6	7	8	9
	5,5	11,9	8,0	11,1	8,1	14,0	17,9	5,4
5,5	12,0	7,9	11,5	8,0	13,9	18,1	5,6
5,6	11,8	8,1	11,0	8,2	13,7	18,0	5,5
	8,1	15,9	18,1	5,1	10,1	7,1	11,9	20,0
8,2	15,4	18,0	5,3	9,9	7,5	11,8	20,1
8,1	15,7	18,1	5,1	9,8	7,3	12,0	19,9
	10,1	5,1	10,9	21,9	9,3	8,0	17,0	12,9
10,2	5,5	11,1	21,8	9,1	7,9	17,1	12,8
10,0	5,3	11,0	22,0	9,0	7,7	17,2	13,0
	5,0	10,7	15,0	23,2	8,0	2,6	14,0	14,1
5,1	10,9	15,1	23,1	8,5	2,9	14,1	14,0
5,0	10,5	15,1	23,0	8,2	2,5	13,8	13,9

Продовження табл. 20

1	2	3	4	5	6	7	8	9
	5,1	8,0	20,0	13,0	45,3	22,1	8,1	33,1
4,9	8,1	20,9	12,9	45,0	22,0	8,0	33,3
5,0	8,3	19,9	13,1	45,0	22,1	8,3	32,9
	30,0	17,6	15,1	18,4	2,3	10,2	20,6	31,3
29,9	17,1	15,3	18,6	2,9	10,1	20,9	31,9
29,6	17,0	15,2	18,9	2,6	10,3	21,1	32,0
	5,1	12,1	7,1	11,1	9,1	5,1	12,9	21,0
5,5	12,0	7,9	11,5	8,5	5,5	12,5	21,1
5,6	11,8	7,4	11,0	9,0	5,3	13,0	21,9
	8,1	14,0	17,1	5,1	9,3	9,0	19,1	12,0
8,0	13,9	17,5	5,6	9,1	9,9	19,2	12,9
8,2	13,4	17,0	5,5	9,0	9,7	19,9	12,0
	8,0	2,1	15,0	15,1	28,0	17,6	13,1	18,1
8,5	2,9	14,1	15,0	28,3	18,1	13,3	18,5
8,0	2,5	14,7	14,9	28,6	17,8	13,1	18,8
	9,7	2,3	10,9	12,5	7,7	3,6	5,1	16,0
9,3	2,6	11,3	12,5	7,6	3,5	5,5	16,5
9,0	2,1	11,1	12,7	7,5	3,8	5,7	16,2
	5,5	14,5	3,0	3,6	8,8	6,5	5,1	12,3
5,4	14,2	3,7	3,8	8,7	6,8	5,5	12,6
5,9	14,0	3,9	3,6	9,3	6,9	5,7	12,8
	12,4	12,2	4,4	11,3	7,6	15,1	9,0	4,5
11,9	12,1	4,9	11,8	7,9	15,4	9,1	4,6
12,3	12,6	4,3	11,1	7,1	15,7	9,3	4,3
	23,4	17,5	12,5	24,3	19,2	12,0	13,7	13,4
23,6	17,5	12,6	24,8	19,9	11,8	13,9	13,9
23,7	17,3	12,9	24,6	19,6	11,9	14,0	13,7
	15,5	9,7	10,2	10,5	4,7	4,7	17,5	12,8
15,6	9,4	10,8	10,6	4,8	4,6	17,0	12,5
16,0	9,9	10,6	10,6	4,5	4,9	17,3	12,1

Продовження табл. 20

1	2	3	4	5	6	7	8	9
	17,3	16,4	10,2	4,8	11,3	22,2	5,8	8,4
17,2	16,0	10,8	5,0	11,5	22,0	5,9	8,8
17,9	16,5	10,7	4,5	11,8	22,4	6,0	8,2
	4,7	7,8	5,1	13,5	5,7	11,9	12,6	12,6
4,4	7,4	5,2	13,7	5,7	11,2	12,7	12,7
4,0	7,6	5,7	14,0	5,8	11,4	12,0	13,0
	5,7	11,2	13,3	5,5	7,8	18,3	8,8	2,2
5,6	11,0	13,5	5,7	7,9	18,6	8,3	2,8
5,4	11,1	13,7	5,3	7,8	18,5	8,2	2,7
	7,6	7,6	2,8	5,4	6,7	12,3	15,0	4,6
7,8	7,6	2,2	5,8	6,9	12,3	15,3	4,7
8,0	7,9	2,6	6,0	7,1	12,1	15,1	4,2
	21,2	11,8	7,8	15,4	14,3	14,9	11,0	5,8
21,9	11,9	7,9	15,4	14,4	14,8	11,0	5,7
21,7	12,0	7,7	15,2	14,7	15,0	11,4	5,8
	32,0	25,4	18,9	24,5	23,5	15,7	20,0	33,1
32,0	25,6	18,7	24,5	23,8	15,5	19,8	33,2
31,8	25,9	18,8	24,9	23,6	15,9	19,8	33,6
	16,6	12,2	11,1	9,7	8,6	17,5	12,1	23,2
16,4	12,5	11,5	9,8	8,7	17,8	12,4	23,4
16,5	12,8	11,4	9,7	8,8	17,4	12,0	23,1
	9,7	3,4	11,3	10,1	7,1	3,6	5,1	15,2
9,8	3,6	11,8	10,5	7,6	3,4	5,4	15,5
10,0	3,1	11,4	10,7	7,5	3,8	5,7	15,2
	4,6	13,5	4,3	3,6	10,8	6,4	5,0	10,3
4,4	13,2	4,9	3,8	11,1	6,8	5,5	10,6
4,9	13,0	4,9	3,6	10,9	6,9	5,7	10,8
	11,4	13,2	3,4	13,3	7,7	15,1	9,2	4,7
11,9	13,6	3,9	13,8	7,9	15,4	9,8	4,9
11,5	13,8	3,3	13,4	7,5	15,6	9,3	4,3

Продовження табл. 20