Факторний експеримент другого порядку

Мета роботи: навчитися будувати план експерименту другого порядку, розробляти математичну модель на основі аналізу отриманих експериментальних даних.

Факторний простір, в якому вихідний параметр має екстремальне значення, називають стаціонарною областю. Ця область характеризується суттєво нелінійною функцією відгуку, для адекватного опису якої використовують нелінійні поліноми, найчастіше поліноми другого порядку.

Для опису поверхні відгуку поліномами другого порядку необхідно, щоб при проведенні експериментів незалежні фактори змінювались не менше ніж на трьох рівнях. Трьохрівневий план, в якому реалізуються всі можливі комбінації з q факторів, являє собою повний факторний експеримент 3^q. Скоротити число дослідів можна за рахунок застосування композиційних планів Бокса-Уілсона.

Ядро цих планів складає ПФЕ 2^q при або напіврепліка від нього при . Якщо після реалізації ПФЕ 2^q виявилось, що лінійне рівняння є неадекватним, то Бокс-Уілсон запропонував додатково провести досліди в 2q зіркових точках, які розташовані на координатних осях факторного простору, та в центрі плану (n_o).

Загальна кількість дослідів (N) у матриці композиційного плану другого порядку для q факторів складає:

при q<5: при q≥5:

де k – кількість факторів;

n_o – кількість паралельних спостережень у центрі плану.

Розглянемо як приклад побудову композиційного плану Бокса-Уілсона для двохфакторного експерименту (рис. 4).

Рисунок 2 – Композиційний план Бокса-Уілсона

Точки 1,2,3,4 утворюють ПФЕ 2², точки 5,6,7,8 називаються ”зірковими“ точками з координатами ( ,0) і (0, ), координати для n_o дослідів у центрі плану нульові – (0,0) (табл. 21).

Таблиця 21 – Матриця композиційного плану 3²

Номер досліду
	+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	+1 +1 -1 -1	+1 -1 -1 +1	+1 -1 +1 -1	+1 +1 +1 +1	+1 +1 +1 +1	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9

Композиційні плани другого порядку є неортогональні. Їх приводять до ортогональних вибором величини відповідного зіркового плеча . Величина зіркового плеча залежить від числа дослідів у центрі плану (n_o) та кількості факторів у плані (q).

При n_o=1 для двохфакторного експерименту α=1.

Алгоритм розрахунку

Для виконання розрахунків у системі MathCad непотрібно здійснювати лінійне перетворення квадратичних стовпчиків змінних х_і для розрахунку коефіцієнтів рівняння регресії. Пошук коефіцієнтів рівняння регресії b_j відбувається за допомогою вбудованих функцій regress та розрахункових значень у_i за допомого ю функції interp.

Вони мають наступний вигляд:

b:=regress(x,y,N);

.

Увага: х – матриця даних, яка містить 2 стовпчики х1 та х2;

у – вектор даних;

N – степінь полінома (N =2).

Особливістю використання функції regress у цьому випадку є те, що номери коефіцієнтів не завжди збігаються з порядком їх розташування – коефіцієнт b₃ може йти перед коефіцієнтом b₁ і т. ін. Тому неможливо безпосередньо охарактеризувати вплив кожного компонента, і обов’язково слід використовувати функцію автоматичного розставлення коефіцієнтів у рівнянні регресії за допомогою функції interp.

Щоб показати результат у графічному вигляді визначаємо межі області розрахунку:

– Знаходимо максимальне та мінімальне значення змінних х1 та х2 (міп1, міп2, мах1, мах2).

– Вводимо службові змінні i:=0..100 j:=0..100 (при ORIGIN ≡0).

– Підраховуємо матрицю розрахункових даних в області дослідження:

.

Будуємо графік за допомогою графічного оператора.

Щоб знайти максимальне або мінімальне значення у можна скористатися блоком Given

x1:=1500 x2:=175 (завдання початкових значень, наприклад, середніх)

Given

1000<x1<2000

150<x2<200 (задаємо область досліджень відповідно до задачі)

k:=Maximize(f,x1,x2) або k:=Minimize(f,x1,x2)

Рішенням задачі є вектор k зі значеннями невідомих х1, х2. Наприклад:

Щоб розрахувати значення у при цих значеннях х необхідно вказати їх місцезнаходження:

x1:=k₀ x2:=k₁

Тоді розрахункове значення у, наприклад: f(x1,x2) = 23.

Завдання. Проводиться дослідження з синтезу ситалів. Вхідні параметри – температура першої (540±20⁰С) та другої (720±30⁰С) ізотермічної витримки. Вихідний параметр – міцність ситалів на згин, МПа (табл. 22).

– Побудувати план експерименту другого ступеня в кодованих та натуральних координатах;

– Розрахувати коефіцієнти рівняння регресії другого степеня.

– Знайдіть режим термообробки, який дозволяє отримати максимальне значення міцності ситалів.

– Проілюструйте відповідь графічним зображенням.

Таблиця 22 – Міцність ситалів на згин, МПа

№ варіанта	№ точок у плані відповідно до табл. 21
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	51,1	123,2	113,2	46,3	215,9	208,5	101,4	103,9	231,3
50,2	126,3	113,9	47,1	231,6	195,4	94,9	112,5	236,9
50,1	133,7	123,9	45,2	254,0	202,4	90,1	115,1	237,2
54,0	140,2	121,9	40,8	272,6	193,8	84,6	124,4	232,8
	28,0	46,9	47,9	26,9	56,3	56,3	116,5	115,4	134,7
25,3	44,0	46,9	26,5	53,6	60,0	116,4	111,1	134,5
23,7	45,8	51,5	24,3	57,4	59,3	105,9	120,5	141,7
22,3	47,4	49,6	22,9	60,7	60,2	108,0	127,2	140,3
	30,5	42,0	45,5	26,9	84,5	84,5	88,0	84,5	134,5
31,0	41,2	49,2	27,7	87,3	87,3	88,3	87,9	139,9
30,1	44,0	46,3	28,1	95,7	95,7	81,5	91,8	153,3
28,1	43,4	47,3	27,7	94,5	94,5	84,4	84,3	162,5
	51,8	65,1	73,0	44,0	157,5	157,5	124,7	116,8	219,8
54,4	71,1	78,4	47,7	169,5	160,2	126,8	127,9	234,7
55,4	74,4	83,7	46,4	165,6	165,5	119,0	133,3	245,6
58,6	72,4	91,8	47,0	169,2	162,2	112,5	131,4	240,0

Продовження табл. 22

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	39,8	59,8	57,9	41,7	160,7	160,7	87,0	88,9	198,8
37,0	58,7	55,5	38,9	148,4	150,0	81,3	83,7	183,9
40,0	59,1	55,8	37,9	141,4	145,8	75,6	81,6	176,8
38,5	57,4	55,0	35,2	136,6	134,9	70,1	86,9	180,6
	14,1	21,9	22,2	14,0	61,9	62,0	26,1	25,9	69,9
14,1	23,6	23,0	14,5	67,1	64,1	27,4	26,7	72,9
15,0	21,7	22,3	14,4	72,8	64,8	27,4	28,1	77,7
15,4	22,8	22,2	13,7	75,7	63,5	25,4	26,6	70,2
	57,5	116,8	112,1	63,2	150,0	150,0	222,1	226,8	287,3
52,3	122,5	120,7	62,2	138,9	161,1	214,7	224,7	304,6
55,2	125,8	114,1	67,5	134,4	151,9	194,2	214,7	281,3
50,2	133,0	118,8	63,8	143,1	142,2	196,5	195,5	288,0
	40,6	61,0	58,3	43,2	128,9	128,9	123,5	126,2	203,0
40,9	63,7	52,6	44,0	138,5	120,0	111,4	125,2	200,9
38,0	63,4	54,4	40,3	128,0	122,9	117,1	116,4	183,0
41,1	65,7	59,6	39,7	132,6	128,1	118,1	126,2	189,1
	44,3	68,4	70,5	42,3	157,3	157,3	111,4	109,4	211,3
45,2	67,3	70,0	46,2	159,4	148,7	110,6	118,6	193,1
42,4	72,5	70,1	46,4	156,6	161,2	110,2	122,4	192,3
41,4	75,5	67,5	49,5	165,1	163,2	118,5	118,8	208,4
	20,2	37,7	39,0	19,0	67,7	67,7	56,7	55,7	95,0
18,3	40,3	37,2	17,9	68,7	67,0	57,1	55,3	102,2
16,7	40,9	36,1	17,5	64,1	61,1	52,7	50,6	96,8
16,3	41,4	39,0	18,2	66,4	63,0	55,3	53,9	100,1
	41,6	78,6	80,7	39,6	138,1	138,1	121,1	119,1	198,1
43,6	80,2	77,4	41,4	142,2	135,7	124,3	115,6	178,7
40,2	79,5	75,3	43,7	132,9	131,9	119,0	114,9	172,1
43,0	79,8	71,7	47,3	132,4	128,0	110,8	104,7	160,6
	43,8	67,4	68,2	43,0	175,6	176,5	95,4	94,5	214,9
40,2	61,7	64,1	45,0	162,8	168,9	102,0	102,3	209,7
44,1	56,6	61,9	40,9	164,4	169,5	104,5	95,8	200,2
46,6	54,5	64,3	44,5	167,4	155,6	101,9	98,8	191,2
	63,4	82,7	91,5	54,8	70,4	70,4	273,0	264,2	266,0
57,9	84,2	97,5	50,7	76,0	69,3	298,0	245,5	268,4
52,5	80,3	92,1	50,5	73,2	65,8	296,7	231,7	274,4
52,5	87,7	84,5	46,6	72,2	69,7	286,1	251,0	263,8
	40,1	67,2	68,8	38,6	94,4	94,4	153,2	151,7	193,2
37,7	72,5	71,9	40,6	98,6	92,2	162,3	162,9	201,9
34,5	76,2	65,6	40,3	91,9	85,1	154,6	154,9	218,2
32,7	76,7	67,9	42,9	98,4	81,3	161,4	153,2	223,2
	32,1	66,9	71,3	27,7	62,1	62,1	128,1	123,7	138,5
32,1	67,3	74,9	26,3	61,1	59,2	121,9	111,8	148,8
31,0	72,6	72,1	28,7	63,3	58,2	122,2	117,6	154,0
31,1	76,8	73,3	27,5	61,6	59,2	112,3	108,6	167,2
	31,0	78.9	78,2	32,5	70,5	70,5	138,8	140,4	154,8
32,4	76,7	74,8	35,3	70,2	70,3	152,4	128,4	148,3
35,6	73,1	79,6	36,8	66,2	70,1	163,8	138,9	134,9
38,8	71,1	79,4	38,0	70,3	76,3	180,1	146,6	146,2

Продовження табл. 22

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	8,0	11,5	12,3	7,3	20,2	20,2	26,4	25,6	36,4
7,6	10,9	13,4	6,7	19,3	21,2	27,4	27,3	35,1
7,3	11,7	12,2	6,8	18,1	22,4	29,7	28,3	34,1
7,9	12,8	11,3	6,6	17,1	23,4	30,9	29,6	33,4
	24,5	38,2	39,3	23,5	57,6	57,6	91,6	90,5	117,3
24,3	35,1	38,6	22,2	62,6	54,6	87,8	85,2	114,3
22,2	38,4	41,5	23,6	60,1	59,0	86,7	89,2	106,6
20,5	41,0	43,8	22,0	65,6	61,9	78,7	85,0	110,7
	15,8	22,0	24,3	13,5	42,7	42,7	45,1	42,8	67,7
14,3	23,3	24,1	14,1	46,3	45,7	43,9	46,9	68,1
14,2	24,3	25,9	12,8	45,7	46,6	46,8	47,2	65,5
14,2	24,2	24,2	13,7	45,8	42,4	46,1	47,6	70,3
	50,0	70,7	77,3	43,5	183,9	183,9	97,3	90,8	217,0
53,4	68,4	73,0	42,7	188,1	191,4	90,5	87,9	203,5
52,3	64,5	75,2	46,5	185,1	176,9	89,8	88,9	205,2
47,5	63,5	74,9	48,8	169,3	167,2	89,5	91,6	198,8
	35,3	51,1	49,3	37,1	130,8	130,8	87,9	89,7	176,3
33,4	51,8	51,9	35,21	121,0	142,1	93,2	90,6	193,6
36,1	55,3	49,6	36,7	121,5	148,4	97,2	92,4	175,6
36,2	51,5	48,7	39,2	125,7	161,8	101,7	99,2	187,8
	12,3	22,3	21,4	13,1	30,6	30,6	47,5	48,3	61,3
12,3	20,7	19,5	14,2	32,1	30,4	43,0	41,8	58,4
11,6	18,8	18,2	13,0	31,0	28,6	41,8	37,6	60,6
12,5	19,3	18,8	13,7	28,3	28,7	42,3	57,6	106,0
	21,3	34,9	35,0	21,2	76,4	76,4	57,8	57,6	106,0
23,3	33,4	36,6	21,0	73,4	69,5	63,0	57,0	106,7
25,0	30,4	33,2	22,6	67,3	62,8	67,7	60,9	106,4
26,4	30,0	32,9	23,3	66,9	67,7	68,6	59,8	98,1
	12,2	17,9	19,3	10,8	32,0	32,0	37,5	36,1	53,8
11,1	19,5	20,6	11,0	28,9	33,4	37,9	36,8	51,6
11,9	20,7	19,4	10,0	30,6	30,5	39,2	39,5	48,7
10,9	19,5	19,8	9,6	31,9	31,0	39,6	39,2	46,8
	17,9	23,0	25,4	15,5	66,6	66,7	32,6	30,3	77,6
16,6	23,3	25,0	16,2	63,5	65,7	35,7	28,9	78,7
15,9	22,3	25,5	17,1	58,0	65,5	36,1	28,7	78,2
16,2	23,1	27,1	16,0	59,2	66,6	35,0	27,3	79,0
	50,6	67,7	68,4	49,8	168,8	168,8	138,9	139,0	249,1
53,8	71,9	71,3	48,2	181,1	165,7	151,1	126,3	256,4
51,3	66,9	71,3	50,7	191,1	162,1	164,8	130,9	250,4
48,8	66,8	72,5	46,7	204,2	166,3	159.3	119,0	239,9
	25,9	37,6	38,2	25,3	86,1	86,1	72,4	71,8	126,4
27,2	38,5	37,8	25,9	78,5	91,3	77,8	70,5	115,2
27,8	41,5	35,1	25,3	73,3	88,1	71,0	66,1	121,3
29,8	45,1	32,8	25,8	75,1	80,3	76,3	63,4	133,1
	63,9	80,2	91,6	52,5	158,3	158,3	182,1	170,8	262,7
59,2	80,6	82,7	49,4	151,8	162,9	170,7	154,9	252,9
64,1	76,3	84,9	51,8	147,1	154,3	175,3	154,3	271,3
62,3	83,2	78,7	50,4	134,1	163,0	158,0	150,9	264,0

Продовження табл. 22