Движение твердого тела. Момент инерции тела. Уравнение моментов. Теорема о переносе осей. Кинетическая энергия вращающегося тела. Гироскопы и их применения. 5 страница

    Рис.54.Графическое представление адиабаты. зависимость. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить производные изотермы и адиабаты. Пусть определенному состоянию газа соответствует точка В на диаграмме рис.52. При изотермическом изменении состояния р_Т = C_T/V, С_Т-постоянная. При адиабатическом процессе р_А = С_А/V^g. Т.к. эти два уравнения описывают поведение одной и той же массы газа, то в точке В р_Т = р_А, откуда следует, что (13-17) Значения

производных в этой же точке соответственно равны: р_т=-С_т/V^-2 и р_А=-gС_А/V^-(g+1), и их отношение с учетом (13-17): . (13-18). Т.к. g > 1, то р_А > р_Т.

Распределение энергии по степеням свободы. Закон Шарля устанавливает прямую зависимость между давлением газа и его температурой (р = constТ); в то же время из (11-7) следует прямая пропорциональность между давлением и средней кинетической энергией, приходящуюся на 1 молекулу, поэтому можно утверждать, что Т есть мера средней кинетической энергии молекул. Коэффициент пропорциональности, который несложно выводится из (11-6) и уравнения Клапейрона, получил название постоянной Больцмана k = 1,38 10^-23 Дж/град: = . (11-8)

Поскольку при выводе формулы для давления газа собственные размеры молекул не учитывались, последние можно рассматривать как материальные точки. Положение любой такой точки в пространстве определяется тремя координатами. Все координаты «равноправны» так, что вся кинетическая энергия молекулы равновероятно распределяется между ними, т.е. на одну координату (на одну степень свободы) приходится энергия _i= (1/2)kT. Если для определения положения молекулы требуется задать i - координат, то молекула обладает i - степенями свободы. В этом случае кинетическая энергия молекулы равна (i/2)kT. Очевидно, что материальная точка обладает 3 степенями свободы. Для

1 NZUjyijWq6MdhDaDTaSMPaoXBRuEX0N9T+IhDLNLf42MFvALZz3NbcX9561AxZl5Y6kBs2IyiYOe nMn05ZgcPI+szyPCSoKqeOBsMJdh+Bxbh3rT0ktFomvhiprW6KRmbOhQ1bFYms3UkuM/isN/7qes X7998RMAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAhANYBYIfdAAAACgEAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxM j0FPg0AQhe8m/ofNmHizi9JYQJbGmBhuNVRjPE5hBJSdJezS4r93etLbe5mXN9/Lt4sd1JEm3zs2 cLuKQBHXrum5NfD2+nyTgPIBucHBMRn4IQ/b4vIix6xxJ67ouA+tkhL2GRroQhgzrX3dkUW/ciOx 3D7dZDGInVrdTHiScjvouyi61xZ7lg8djvTUUf29n60BfPkqy3n3/rFLy7aKfYxVEqEx11fL4wOo QEv4C8MZX9ChEKaDm7nxahC/TmRLMJCkG1DnQLoRcRARp2vQRa7/Tyh+AQAA//8DAFBLAQItABQA BgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1s UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxz UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAEJ0tZ4lAgAANQQAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2Mu eG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhANYBYIfdAAAACgEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAfwQAAGRycy9kb3du cmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAACJBQAAAAA= " o:allowincell="f" strokeweight="2pt"/>     Рис.45. Число степеней свободы двухатомной молекулы.

молекулы, состоящей из двух атомов, число требуемых координат равно 5: 3 координаты определяют положение центра молекулы, кроме того молекула может вращаться в 2 взаимно перпендикулярных плоскостях. Трехатомная молекула имеет 6 степеней свободы - добавляется еще одно направление вращения. Дальнейшее увеличение числа степеней свободы связано с возможностями колебательных движений. Но положение о величине энергии, приходящейся на одну степень свободы

сохраняется, и для сложной молекулы ее кинетическая энергия равна: Е_кин = . (11-9)

Сумма кинетической и потенциальной энергии взаимодействия всех молекул газа называется внутренней энергией газа U = (11-10)

Для идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул между собой равна нулю, и внутренняя энергия такого газа равна суммарной кинетической энергии хаотического движения всех его молекул.

Второе начало термодинамики. Обратимые и необратимые процессы. Энтропия и ее связь с вероятностью состояния. Циклические процессы. Тепловые машины и холодильники. Цикл Карно и КПД тепловых машин. Термодинамические потенциалы. Границы применимости второго начала термодинамики.

Рис.52.К определению процессов в термодинамической системе.

Процесс в системе может быть обратимым и необратимым.Если процесс перехода системы из одного состояния в другое по пути I проходит через одни и те же промежуточные состояния в независимости от направления перехода, то такой процесс называется обратимым. Если же прямой и обратный переходы по пути I между состояниями А и В происходят через различные промежуточные состояния, то такой переход необратим. Если переход из состояния А в В происходит по пути I, а обратный переход из В в А осуществляется по пути II, то такое изменение состояния системы называется циклом Цикл также может быть обратимым или необратимым. Необратимым цикл будет всегда, если хотя бы одна часть его соответствует необратимому процессу.

Энтропия – результат макроскопики, который мы можем измерить. S=k lnW

1 моль:

-энтропия

Энтропия любого тела стремится к нулю при стремлении к нулю Т.

Энтропия – функция состояния системы, изменение которой равно сумме приведенных теплот, полученных системой при квазиравновесных процессах.

Изотерма:

TdS=dU+pdV, dS=

Для 1 моль газа:

S= S₀-постоянная интегрирования

pV=RT: S=

, RlnR+ S₀₌ S₀′

:

Изменение при обратимом изотермическом расширении равно нулю, т.к. степень беспорядка молекулярного движения при этом не меняется.

Принцип действия тепловых машин. Под термином «тепловая машина» можно понимать любое устройство, предназначенное для совершения работы над внешними телами за счет энергии, поступающей в это устройство в виде теплоты. Для простоты представим ее в виде цилиндра, содержащего газ (рабочее тело) и снабженного подвижным поршнем.

Машина способна совершать длительную работу без изменения своих свойств. Такую работу она может совершать циклически, т.е. по круговому процессу, повторяя его много раз. Получение положительной работы за один цикл основано на том, что величина работы

Рис.55. Диаграмма состояния II >

зависит от способа перевода газа из одного состояния в другое - на диаграмме это определяется кривой, которая описывает изменение состояния рабочего тела. Пусть нач. состоянию газа соответствует точка В. Для того, чтобы газ совершил работу, он должен увеличить свой объем. Расширения газа можно достичь нагреванием. Нагревание.

происходит при тепловом контакте с нагревателем, т.е. тепловым резервуаром, температура которого выше температуры рабочего тела Процесс нагревания изображается на диаграмме кривой I. Величина работы, которую совершает газ при нагревании, определяется выражением А₁= . На диаграмме это определяется площадью, ограниченную кривой I и ординатами точек В и D (горизонтальная штриховка). По 1 закону термодинамики количество теплоты, полученное газом, расходуется на совершение работы и изменение внутренней энергии газа: (14-1)

Для возвращения газа в первоначальное состояние его надо сжать до прежнего объема. При этом над ним совершить некоторую работу А₂, величина которой также зависит от того каким образом газ переводится в первоначальное состояние.

Очевидно, что машина способна совершать полезную работу при замкнутом цикле, если А₁>А₂. Для того, чтобы выполнялось это неравенство, кривая II, определяющая величину работы А₂ (вертикальная штриховка), должна проходить ниже кривой I, т.е. сжатие газа должно проходить при более низких давлениях, чем расширение. Т.к. более низкие давления соответствуют более низким температурам, то газ нужно охладить. Поэтому газ приводят в тепловой контакт с холодильником - тепловым резервуаром, температура которого ниже температуры газа. Если холодильник отбирает у газа теплоту Q₂, то по аналогии с процессом I можно записать: , (14-2), где отрицательный знак работы означает, что в этом случае работа совершается внешними силами.

Сложив выражения (14-1) и (14-2), получим: (14-3) т.е. полезная работа, произведенная машиной, равна разности теплот: Q₁, полученной от нагревателя, и Q₂, отданной холодильнику.

Отношение полезной работы к теплоте Q₁, полученной машиной от нагревателя, называется коэффициентом полезного действия h машины: . (14-4)

Цикл рис.55 можно осуществить (если процессы I и II - обратимы) и в обратном направлении: газ расширяется по кривой II и сжимается при более высоких давлениях по кривой I. В этом случае расширяясь, газ будет отнимать тепло у теплового резервуара. Наоборот, при сжатии по кривой I газ будет отдавать тепло тепловому резервуару с большей температурой, который будет нагреваться. Чтобы осуществить такой цикл, надо затратить определенную работу. Машина, работающая по такому циклу, называется холодильной машиной.

Второй закон термодинамики. Повышение КПД тепловой машины является важнейшей практической задачей. Соотношение (14-4) показывает, наиболее эффективным способом достижения этой задачи должно быть понижение количества теплоты, отдаваемой холодильнику. Если бы удалось добиться того, чтобы вся полученная от нагревателя теплота превращалась в работу, то КПД такой машины равнялся бы единице. Такая машина могла бы работать за счет тепла мирового океана, т.е. она была бы источником «даровой» энергии и служила бы достаточно долго. Однако многочисленные попытки приблизиться к решению этой проблемы оказались безуспешными. Более того, английским ученым В. Томсоном было сформулировано положение о невозможности построения такого двигателя, который был назван вечным двигателем второго рода. Это положение теперь называется вторым законом термодинамики. Полная формулировка этого закона в редакции Томсона гласит: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счет охлаждения теплового резервуара.

Клаузиус: невозможен самопроизвольный переход тепла от холодного тела к горячему. Термин «самопроизвольный» означает, что такая передача теплоты должна происходить без каких-либо изменений в окружающих телах. Хотя такая формулировка кажется естественной, однако ее эквивалентность формулировке Томсона далеко не очевидна. Доказательство эквивалентности этих формулировок проводится от противного. Предположим, что положение Томсона неверно: существует машина, которая работает только за счет охлаждения одного тела - нагревателя. Пусть работа, производимая этой машиной, передается другому телу, температура которого выше, чем температура нагревателя. Предположим, что это тело состоит из нескольких частей, трущихся друг о друга, и вся работа, получаемая телом, превращается в работу против сил трения, т.е. превращается в тепло. Возможность полного превращения работы против сил трения в теплоту доказана Джоулем. В результате произойдет нагревание выбранного тела, тогда как в машине после совершения цикла никаких изменений не происходит, и она возвращается в первоначальное состояние. Т.о. единственным результатом работы машины будет передача

Рис.56. Цикл машины.

тепла от менее нагретого тела более горячему, что противоречит формулировке Клазиуса. Если же наоборот, не справедлива формулировка Клаузиуса, то с помощью тепловой машины можно осуществить цикл, схема которого показана на рис.56. Она отбирает у нагревателя теплоту Q1, передает холодильнику теплоту Q2, совершает работу А=Q1-Q2 и возвращается в прежнее состояние. Если теперь теплота Q2 самопроизвольно передастся от холодильника нагревателю, то получится противоречие формулировке Томсона: машина совершила полезную работу только за счет отбора теплоты у нагревателя, состояние холодильника при этом не изменилось.

Теоремы Карно. 1. КПД всех обратимых тепловых машин, работающих с одним и тем же нагревателем и одним и тем же холодильником одинаковы. 2. КПД необратимых тепловых машин, не может быть больше КПД обратимой машины, работающей с такими же нагревателем и холодильником, что и необратимая машина.

Для доказательства первого из этих положений рассмотрим две различные обратимые машины, КПД которых равны h₁ и h₂ соответственно. Не ограничивая общности рассуждений, можно предположить, что обе машины, работая в прямом цикле, отбирают от нагревателя одно и то же количество теплоты Q₁. Т.к. КПД машин разные, то холодильнику они отдают разные теплоты, величину которых обозначим Q₂ и соответственно.

Рис.57. К доказательству теоремы Карно.

КПД обеих машин определяются таким образом: ; (14-5) . (14-6) Пусть h1> h2. Тогда А1>А2 и Q2 < .Объединим обе машины в один агрегат, где машина с большим КПД работает по прямому циклу, а другая по обратному, причем нагреватель и холодильник у них общие (рис 57).При совершении цикла в обратном направлении вторая обратимая машина отдает нагревателю такое же количество теплоты, которое она

забирает у него при совершении прямого цикла. Кроме того, для работы второй машины по обратному циклу требуется работа внешних сил, равная по величине той работе, которую производит эта машина, работая по прямому циклу. При действии машин в агрегате работу внешних сил выполняет первая машина, затрачивая на это лишь часть своей работы, т.к. А₁>А₂. После завершения цикла агрегата состояние нагревателя не изменилось, ибо он отдал первой машине теплоту Q₁, но такое же количество теплоты он получил от второй машины. Холодильник же получил теплоту Q₂ от первой машины, но отдал второй машине > Q₂, т.е. он охладился. При этом агрегат произвел полезную работу А = А₁ - А₂. Т.о. видно, работа такого агрегата противоречит второму закону термодинамики в формулировке Томсона, и наше предположение о том, что h₁> h₂ неверно. Нетрудно догадаться, что неверным является обратное предположение:h₁<h₂. Для доказательства этого достаточно переномеровать машины Поэтому остается только одна возможность: h₁= h₂.

Доказательство второй теоремы проводится аналогично. Пусть КПД необратимой машины h₁> h₂, h₂ - КПД обратимой машины. Поскольку в рассуждении доказательства первой части первой теоремы Карно обратимость или необратимость первой машины не играла никакой роли, то вывод о неправильности предположения о том, что h₁> h₂, h₁= h_{необрат} сохраняет свою силу. Однако опровергнуть обратное предположение (h_необ<h_обр), невозможно, т.к. необратимая машина не может работать по обратному циклу. Поэтому неравенство h_необ< h_обр остается справедливым, и вторая теорема Карно доказана.

Цикл Карно. Из теорем Карно следует, что теоретическое значение КПД тепловых машин не зависит от конструкции машины, но могут зависеть лишь от свойств нагревателя и холодильника. Наиболее простым является случай, когда температуры нагревателя и холодильника остаются постоянными, и процессы теплообмена между рабочим телом и тепловым резервуаром должны быть изотермическими.

Цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, впервые был рассмотрен С. Карно.

m GVmeWueTugvxbqlmXIggFyFRm+OjQX8QLlglOPWHPsyaxXwiDFoSL7jw2717L8yoS0kDWM0InUqK XKBDwpBgj24bjASDkQIjxDnCxV2cMxyIFH+MhcSF9LkAEVDKztqq8fVRfDQdTUdpL+0Pp700Lore 49kk7Q1nyaNBcVhMJkXyxpeVpFnNKWXSV3Y7GUn6d8rbzehW0/vZ2FMY3UcPXEOyt/8h6aAJL4Ot oOaKrs+Mb4uXBwxDCN4Nrp+2n/ch6u7zMv4BAAD//wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQCNu74q3gAAAAgB AAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI/NTsMwEITvSLyDtUjcqN0/FIU4FUrEIVKF1JYH2MYmDsRr K3ab8PY1JziOZjTzTbGb7cCuegy9IwnLhQCmqXWqp07Cx+ntKQMWIpLCwZGW8KMD7Mr7uwJz5SY6 6OsxdiyVUMhRgonR55yH1miLYeG8puR9utFiTHLsuBpxSuV24CshnrnFntKCQa8ro9vv48VKeD/4 eu+brKoIp+arrufBNEbKx4f59QVY1HP8C8MvfkKHMjGd3YVUYIOEjUhXooR1tgWW/I1YAjtLWG3X AnhZ8P8HyhsAAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAA AAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAN/XdrnQCAACmBAAADgAAAAAA AAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAjbu+Kt4AAAAIAQAADwAA AAAAAAAAAAAAAADOBAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAANkFAAAAAA== " o:allowincell="f">             Рис.58. Цикл Карно.

Пусть начальной точкой цикла является точка 1. В качестве рабочего тела выберем 1 моль идеального газа. Газ в состоянии 1 приводится в тепловой контакт с тепловым резервуаром, температура которого Т1, и квазиравновесно нагревается при этой температуре. При нагревании газ расширяется до объема V2 (состояние 2) и совершает работу А12 = RT1lnV2/V1. Из состояния 2 газ адиабатически переводится в состояние 3. В этом случае отсутствует теплообмен с окружающей средой, и газ, расширяясь,

совершает работу А₂₃=С_v(T₁- T₂). В точке 3 газ подвергается изотермическому сжатию при температуре Т₂, и внешние силы совершают работу А₃₄=RT₂lnV₄/V₃. Наконец путем адиабатического сжатия до первоначального объема газ возвращается в прежнее состояние 1. В этом процессе совершается работа А₄₁=С_v(T₂-T₁). Общая работа газа на всем цикле складывается из работ на каждом из его участков А_общ=А₁₂+А₂₃+А₃₄+А₄₁, или А_общ=RT₁lnV₂/V₁+C_V(T₁+T₂)+RT₁lnV₄/V₃+C_V(T₂-T₁)=RT₁lnV₂/V₁+RT₁lnV₄/V₃.

Отношения объемов V₂/V₁ и V₄/V₃ связаны между собой. Чтобы найти эту связь, вспомним частный вид уравнения адиабаты: TV^g-1 = const. Тогда для адиабаты 2-3:

. (14-5) Для адиабаты 4-1: . (14-6) Перемножив почленно два последних выражения и сократив обе части получившегося результата на величину Т₁Т₂, получим: . (14-7) Последнее легко преобразовать: . Поэтому lnV₂/V₁= nV₃/V₄ или lnV₄/V₃=-lnV₂/V₁. (14- 8)

Отсюда КПД цикла Карно равен: = , с учетом (14- 8) h = = . (14-9)

Величина полученной рабочим телом теплоты Q при изотермическом нагревании газа при температуре Т₁ определяется на основании 1 закона термодинамики. Поскольку при изотермическом процессе изменения внутренней энергии не происходит, то Q=A₁₂=RT₁lnV₂/V₁. Тогда , и величина КПД определяется лишь значениями температур нагревателя и холодильника: = 1 - . (14-10)

Формула (14-10) получена в предположении о квазиравновесности и обратимости процессов, составляющих рассмотренный цикл.

Термодинамические потенциалы — характеристические функции в термодинамике, убыль которых в равновесных процессах, протекающих при постоянстве значений соответствующих независимых параметров, равна полезной внешней работе: внутренняя энергия , энтальпия , свободная энергия Гельмгольца , потенциал Гиббса , большой термодинамический потенциал .

Границы применимости второго начала термодинамики. Его можно применять к системамс большим числом степеней свободы (при достаточно большом числе частиц) и почти изолированным.

18. Реальные газы и жидкости. Силы взаимодействия между атомами и молекулами. Уравнение состояния реальных газов Ван-дер-Ваальса. Молекулярные силы в жидкостях. Поверхностное натяжение. Капиллярные явления. Поведение реальных газов хорошо описывается в модели идеального газа, когда расстояния между молекулами очень велики по сравнению с размерами самих молекул. Однако при больших степенях сжатия и при низких температурах становятся заметными отклонения в их поведении от уравнения Менделеева - Клапейрона.

E(r)   Рис.48. Энергия молекул в газе Ван-дер-Ваальса.

Причины такого отклонения достаточно банальны. Они связаны тем, что молекулы газа имеют конечный объем, тогда как в модели идеального газа материальные точки. Также между отдельными молекулами существуют силы взаимодействия, т.е. у молекул кроме кинетической хаотического движения появляется потенциальная. Ван-дер-Ваальс первый сумел придумать новую модель, которая учитывала бы оба этих фактора. Он предположил, что между молекулами действуют силы притяжения, которые по своей природе являются электрическими. Каждую молекулу он рассматривал как твердый шар некоторого диаметра d. В этом случае ясно, что молекулы не могут подойти друг к другу ближе этого расстояния.

В теории строения кристаллов показывается, что N таких шаров при условии тесного соприкосновения друг с другом занимают объем в 4 раза больший, чем , пустоты между шарами имеют объем в 3 раза больший, чем объем самих шаров. Поэтому величину объема газа V, входящего в уравнение Менделеева - Клапейрона, надо заменить на новую величину (V-b), b - некоторая поправка на истинный объем, доступный молекулам газа. Далее он учел, что молекулы могут взаимодействовать не только друг с другом, но и с окружающими их стенками сосуда. Если силы взаимодействия между молекулами (рис.49)