Закон сохранения и превращения энергии в механике. Космические скорости искусственных спутников и космических кораблей. Условия равновесия механических систем

Полная механическая энергия системы материальных точек Е складывается из его кинетической энергии Т и потенциальной энергии U, т.е. Е = Т + U. (6-16)

При движении точек внутри системы изменяются как скорости точек, так и их взаимное расположение. Пусть скорость произвольной точки (i - точки) изменяется под действием сил со стороны других точек. Полное изменение кинетической энергии i - точки в соответствии с выражением (6-15) определяется работой всех сил, действующих на эту точку - как внутренних так и внешних: D T _i = A _i. (6-17)

Сложив выражения (6-17) для всех точек системы, получим: . (6-18)

Левая часть уравнения является кинетической энергией всей системы, которую можно обозначить DТ, а правая - общая работа всех сил, которую можно представить как сумму трех слагаемых: 1. работы всех внутренних потенциальных сил-А _{внутр.пот}; 2. работы всех внутренних непотенциальных сил - А _{внутр. непот}; 3. работы всех внешних сил - А _внеш. При этом надо учесть, что суммарная работа всех внутренних потенциальных сил с обратным знаком равна изменению потенциальной энергии системы DU. Поэтому равенство (6-18) приобретает такой вид: DТ = -DU+А _{внутр. непотен} +А _внеш. Перенося DU в левую часть этого равенства и замечая, что D Т+DU = DЕ, получим: D Е = А _{внутр. непотен} +А _внеш. (6-19)

Выражение (6-19) представляет собой закон изменения механической энергии: изменение полной механической энергии системы материальных точек за некоторый промежуток времени равно суммарной работе всех внутренних непотенциальных и всех внешних сил за этот промежуток времени.

По Белову: приращение механической энергии системы материальных точек равно работе непотенциальных и прочих сил, не учтенных в потенциальной энергии системы. E₂-E₁=A₁₂′

D Е=DA′ разделим на Dt и переходя к пределу Dt 0: -работа за единицу времени (мощность, развиваемая силами, не включенными в потенциальную энергию).

Если силы, не включенные в потенциальную энергию таковы, что в процессе движения системы их работа равна 0, то E1=E2, т.е. механическая энергия остается неизменной E=T+U=const. Или

Если система замкнута, т.е. на нее не действуют никакие внешние силы или сумма всех внешних сил равна нулю, а все внутренние силы являются потенциальными, то DЕ = 0, и выражение Е = +U = const (6-20) - закон сохранения полной механической энергии.

Вывод 1 космической (скорости, которую надо сообщить любому телу параллельно земной поверхности, чтобы оно никогда не упало на Землю). Движение тела, брошенного

O     Рис.3. К выводу первой космической скорости.

вдоль земной поверхности можно представить как сумму двух движений: равномерного горизонтального движения со скоростью бросания vI и свободного падения тела к поверхности Земли с ускорением g. За достаточно малый промежуток времени Dt тело пройдет, двигаясь перпендикулярно земному радиусу, расстояние АС = vIDt. Если же за это время, находясь в свободном падении, тело опустится на расстояние ВС так, что ОВ=АО=Rз, то очевидно, что тело сохранит неизменной свою высоту над поверхностью Земли. Из DАОС по теореме Пифагора следует: АО2+АС2 = ОС2.В то же время АС=vIDt, АО»RЗ, ОС=ОВ+ВС= +(1/2)g(Dt)2(предполагается, что

время Dt достаточно мало и проекцией скорости v_I на направление АО можно пренебречь). Заменяя стороны DАОС на основании приведенных равенств, имеем: . (1-7) . При Dt 0 выражение для первой космической скорости приобретает такой вид: (1-8)

Т. о. любое тело, двигаясь вокруг Земли, находится в свободном падении, но уменьшение высоты полета при свободном падении на Землю в точности компенсируется за счет приращения расстояния до Земли при движении по касательной.

Вывод 2 космической (которую надо сообщить телу, чтобы оно оказалось способным преодолеть притяжение Земли). Для этого используем выражение для работы силы тяжести при удалении тела на бесконечно большое расстояние от Земли: А = - .

Т.к. гравитационные силы потенциальны, величина этой работы, взятая с обратным знаком, определяет значение потенциальной энергии притяжения тела к Земле -А=-U. Из ЗСЭ следует что, тело может преодолеть притяжение Земли, если ему сообщить кинетическую энергию T_II, которая равна потенциальной энергии притяжения: , откуда следует, что » 11,2 кМ/С. (6-21)

3 космическая скорость — мин скорость, при которой какое-либо тело в свободном движении с поверхности небесного тела сможет покинуть звёздную систему, преодолев притяжение звезды. 4 —при которой какое-либо тело в свободном движении с поверхности небесного тела сможет покинуть галактику.

Равновесие механической системы - состояние, при к-ром все точки системы находятся в покое по отношению к рассматриваемой СО. Если она инерциальная, равновесие абсолютное, в противном случае - относительное.

Статика - раздел механики, в котором изучаются условия равновесия твердых тел. В статике тело рассматривается как абсолютно твердое, т.е. его деформация много меньше первоначальных размеров.

Условия равновесия механических систем можно получить как следствия из законов динамики поступательного и вращательного движения. 1 условие – следствие из 2 закона Ньютона: (. 2 условие – из основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела: =0 (

Т. о. чтобы твердое тело находилось в равновесии и покоилось, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: векторные суммы действующих сил и моментов сил относительно любой оси должны быть равны 0 (при равенстве 0 начальной скорости V₀ поступательного движения и равенства 0 нач. скорости вращательного движения)